Quadrilatero circoscritto da una circonferenza

[giorgione1]

Un saluto a voi tutti.

Questa volta mi sto sbattendo con un problema che di per se sembra semplice, ma sti nasconde il "trucco"

In una circ. è inscritto un quadrilatero la cui diagonale coincide con il diametro. Un lato del quadrilatero è congruente ai 6/5 del raggio e che la loro somma è 32 e come dato aggiuntivo sappiamo che le diagonale sono ortogonali tra loro; mi viene chiesta la distanza tra il centro del cerchio ed il punto d'incontro delle diagonali.

Sono partito con il calcolarmi, tramite equazione, il lato, il diametro e conseguentemente il raggio ovvero rispettivamente 12, 20 e 10, sperando di aver fatto bene fin qui.

A questo punto il buio totale!!!

ringrazio anticipatamente

[giannirecanati]

Dai dati si può evincere che vi saranno due angoli retti perchè sono inscritti in due semicirconferenze rispetto alla diagonale uguale al diametro. Impostiamo l'equazione che se ho capito bene è [tex]\left( \frac{6}{5} \right)\cdot r +1\cdot r = 32[/tex] e risolvendo viene r=14,5 cm, il lato=17,4 e di conseguenza il diametro=29 cm. Se hai disegnato la figura per bene ti sara facile capire. Di uno dei due triangoli rettangoli conosciamo quindi ipotenusa(diagonale=diametro) e un cateto, quindi troviamo l'altro facendo [tex]\sqrt{29^2-17,4^2}[/tex]=23,2 cm. Poichè la diagonale maggiore è anche bisettrice dei due angoli non retti, sappiamo che i due triangoli rettangoli sono congruenti. Adesso possiamo trovare la misura dell'altra diagonale sfruttando il fatto che è altezza dei due triangoli rettangoli in quanto perpendicolare all'altra diagonale. Quindi [tex]\left( \frac{17,4\cdot23,2}{29} \right)[/tex] ed otteniamo metà diagonale minore=13,92. Adesso dal centro del cerchio puoi far partire un raggio diretto ad uno dei due vertici con l'angolo retto, ottenendo un nuovo triangolo rettangolo, il cui cateto minore è proprio la distanza tra i due centri, l'altro cateto è metà diagonale minore e l'ipotenusa il raggio che hai diretto [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{14,5^2-13,92^2}[/tex]=4,06 centimetri il risultato dovrebbe essere pressappoco questo (considerando che tutto quello fatto sia corretto ) a meno di approssimazione ed errori di calcolo.

[Nicole931]

"giorgione":Un saluto a voi tutti.

Questa volta mi sto sbattendo con un problema che di per se sembra semplice, ma sti nasconde il "trucco"

In una circ. è inscritto un quadrilatero la cui diagonale coincide con il diametro. Un lato del quadrilatero è congruente ai 6/5 del raggio e che la loro somma è 32 e come dato aggiuntivo sappiamo che le diagonale sono ortogonali tra loro; mi viene chiesta la distanza tra il centro del cerchio ed il punto d'incontro delle diagonali.

Sono partito con il calcolarmi, tramite equazione, il lato, il diametro e conseguentemente il raggio ovvero rispettivamente 12, 20 e 10, sperando di aver fatto bene fin qui.

A questo punto il buio totale!!!

ringrazio anticipatamente

interpretando quello che hai scritto, non dovrebbero venire quei risultati, in quanto , risolvendo l'equazione
$6/5r+r=32$ si ottiene $r=160/11$, e non è opportuno eseguire la divisione in quanto la frazione dà luogo ad un numero periodico

comunque, a parte i risultati , da controllare, il procedimento è semplice : i due triangoli in cui il diametro divide il quadrilatero son rettangoli e congruenti; applicando ad uno dei due il primo teorema di Euclide : cateto al quadrato = prodotto tra ipotenusa e proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa, poichè conosci il cateto (lato che hai trovato) e l'ipotenusa (diametro) puoi trovare la sua proiezione sull'ipotenusa
a questo punto trovare la distanza tra centro e punto d'incontro delle diagonali è molto semplice, basta fare la differenza tra la proiezione del cateto ed il raggio o viceversa (a seconda di dove cade questa proiezione)