Quadrato inscritto in un altro quadrato

[Sk_Anonymous]

ABCD è un quadrato e HEFG è un'altro quadrato ad esso inscritto. Si sa che \(\displaystyle AE = \frac{1}{5} AB \). Determinare il lato del quadrato inscritto

Qualche suggerimento?

[Mascaretti]

Il teorema di Pitagora ed un criterio di congruenza dei triangoli dovrebbero aiutarti...chiama $ x = AE $ e, detto $l=AB$, $EB = ...$.

[Sk_Anonymous]

Quindi HE=EF perchè il quadrato ha tutti i lati uguali

Detto \(\displaystyle \hat{AEH} = \alpha \), \(\displaystyle \hat{AHE} = 180-90-\alpha = 90-\alpha = \beta \)

Poichè \(\displaystyle \hat{HEF} = 90 \), \(\displaystyle \hat{BEF} = 180-\alpha-90 = 90-\alpha = \beta \)

Quindi \(\displaystyle \hat{AHE} = \hat{BEF} \). Quindi i triangoli rettangoli HAE e FBE sono congruenti perchè hanno lìipotenusa congruente e uno degli angoli acuti congruente. Quindi, essendo \(\displaystyle EB = AB - AE = AH \), si ha che

\(\displaystyle HE = \sqrt{AE^2 + (AB - AE)^2} \)

Va bene o c'è un modo più "semplice" per dimostrarlo, senza quei calcoli con gli angoli?

[Mascaretti]

Beh a me così sembra decisamente semplice . Se vuoi puoi usare solo la complementarietà degli angoli: infatti $E hat bar B F,\ F hat bar C G,\ G hat bar D H,\ H hat bar A E $ sono triangoli rettangoli e $ A hat E H + B hat E F = E hat F B + G hat F C=...=frac pi 2 $, esempio: $ A hat E H + A hat H E=frac pi 2 = A hat E H + B hat E F\ => A hat H E = B hat E F... $ ti risparmia un po' i conti però la sostanza di fondo è quella...

[Sk_Anonymous]

"Mascaretti":Beh a me così sembra decisamente semplice . Se vuoi puoi usare solo la complementarietà degli angoli: infatti $E hat bar B F,\ F hat bar C G,\ G hat bar D H,\ H hat bar A E $ sono triangoli rettangoli e $ A hat E H + B hat E F = E hat F B + G hat F C=...=frac pi 2 $, esempio: $ A hat E H + A hat H E=frac pi 2 = A hat E H + B hat E F\ => A hat H E = B hat E F... $ ti risparmia un po' i conti però la sostanza di fondo è quella...

Ho capito, ti ringrazio.