Punto di non derivabilità
emm scusate ho un problemino...provate a calcolare il punto di non derivabilità di questa funzione..
y=(x
)^(1/4)
dal grafico dovrebbe essere x=0 e dovrebbe essere un punto CUSPIDALE, ma quando vado a fare i limiti della derivata mi vengono entrambi +infinito!!!! dove sbaglio???
grazie
il vecchio
y=(x
)^(1/4)dal grafico dovrebbe essere x=0 e dovrebbe essere un punto CUSPIDALE, ma quando vado a fare i limiti della derivata mi vengono entrambi +infinito!!!! dove sbaglio???
grazie
il vecchio
Risposte
Puoi fare così : la derivata vale :
x/(2*|x|*rad4(x^2)) dove rad4 = radice quarta .
Penso che tu non abbia considerato che ci vuole il modulo , cioè :
rad4(x^6)=|x|*rad4(x^2).
Adesso se fai tendere x a 0+ ottieni che il limite della derivata vale : +00 .
Se invece fai tendere x a 0- ( considerando che in questo caso : |x|=-x ) ottieni : -00.
Se qualcosa non ti è chiaro fatti sentire.
ciao
Camillo
N.B. volutamente non ho semplificato l'espressione data : infatti riducendola a : rad2(x) non è più la stessa funzione : sarebbe definita solo per x > =0, mentre nel modo in cui è data è definita su tutto l'asse reale .
x/(2*|x|*rad4(x^2)) dove rad4 = radice quarta .
Penso che tu non abbia considerato che ci vuole il modulo , cioè :
rad4(x^6)=|x|*rad4(x^2).
Adesso se fai tendere x a 0+ ottieni che il limite della derivata vale : +00 .
Se invece fai tendere x a 0- ( considerando che in questo caso : |x|=-x ) ottieni : -00.
Se qualcosa non ti è chiaro fatti sentire.
ciao
Camillo
N.B. volutamente non ho semplificato l'espressione data : infatti riducendola a : rad2(x) non è più la stessa funzione : sarebbe definita solo per x > =0, mentre nel modo in cui è data è definita su tutto l'asse reale .
In verita' si puo' semplificare la funzione
purche' si scriva:
y=sqrt(|x|).
Inoltre poiche' la derivata di |x| e' +1
per x>0 ed e' invece -1 per x<0 ne segue che:
y'=-1/(2*sqrt(-x)) per x<0 e
y'=+1/(2*sqrt(+x)) per x>0
e questo giustifica il -inf a sinistra di x=0
ed il +inf a destra di x=0.
karl.
purche' si scriva:
y=sqrt(|x|).
Inoltre poiche' la derivata di |x| e' +1
per x>0 ed e' invece -1 per x<0 ne segue che:
y'=-1/(2*sqrt(-x)) per x<0 e
y'=+1/(2*sqrt(+x)) per x>0
e questo giustifica il -inf a sinistra di x=0
ed il +inf a destra di x=0.
karl.
Si ok...col metodo di Karl è venuto anche a me..
però se io non volessi "spaccare" la funzione e lasciare tutto senza moduli?? mi spiego...a me la derivata viene così:
(1/2)*1/rad4(x)
per cui quando vado a fare il limite per x che tende a 0 da destra e sinistra mi vengono uguali perchè al denominatore c'è x...
non è quella la derivata?? a me sembra di si...
il vecchio
però se io non volessi "spaccare" la funzione e lasciare tutto senza moduli?? mi spiego...a me la derivata viene così:
(1/2)*1/rad4(x
)per cui quando vado a fare il limite per x che tende a 0 da destra e sinistra mi vengono uguali perchè al denominatore c'è x
...non è quella la derivata?? a me sembra di si...
il vecchio
Lasciando la funzione cosi' com'e',la derivata e':
y'=x/(2*rad4(x^6)).
Il problema si presenta quando vai a portare fuori radice:a quel
punto,come ti ha detto anche Camillo,non puoi fare a meno del
valore assoluto e risulta:
y'=x/(2|x|*rad4(x^2)).Ora occorre considerare due casi:
a)x<0--->y'=-1/(2rad4(x^2)) perche' |x|=-x
b)x>0----y'=+1/(2rad4(x^2)) perche' |x|=+x
Conclusione si hanno due derivate e due comportamenti
diversi a sinistra e a destra di x=0.
Per convincersi della necessita' del valore assoluto
quando si porta fuori di una radice di indice pari
ti faccio questo esempio:
sia a=rad4((-3)^6);portando fuori radice risulta
a=|-3|*rad4((-3)^2)=3*radq(9)=3rad2(3).
Invece senza la precauzione del modulo si avrebbe:
a=(-3)*rad4((-3)^2)=-3rad4(9)=-3rad2(3)
risultato assurdo perche a e' comunque positiva( basta fare prima la potenza sotto radice
e poi portar fuori).
karl.
karl.
y'=x/(2*rad4(x^6)).
Il problema si presenta quando vai a portare fuori radice:a quel
punto,come ti ha detto anche Camillo,non puoi fare a meno del
valore assoluto e risulta:
y'=x/(2|x|*rad4(x^2)).Ora occorre considerare due casi:
a)x<0--->y'=-1/(2rad4(x^2)) perche' |x|=-x
b)x>0----y'=+1/(2rad4(x^2)) perche' |x|=+x
Conclusione si hanno due derivate e due comportamenti
diversi a sinistra e a destra di x=0.
Per convincersi della necessita' del valore assoluto
quando si porta fuori di una radice di indice pari
ti faccio questo esempio:
sia a=rad4((-3)^6);portando fuori radice risulta
a=|-3|*rad4((-3)^2)=3*radq(9)=3rad2(3).
Invece senza la precauzione del modulo si avrebbe:
a=(-3)*rad4((-3)^2)=-3rad4(9)=-3rad2(3)
risultato assurdo perche a e' comunque positiva( basta fare prima la potenza sotto radice
e poi portar fuori).
karl.
karl.
si si il discorso sul modulo è chiarissimo grazie...
però ora mi fai venire dubbi sulla derivata!!!
io sapevo questo..f'(x^n)=n*x^(n-1) giusto??
applicando questa alla funzione data y=x^(2/4)
(faccio tutti i passaggi)
f'=(2/4)*x(-2/4)
cioè
=(1/2)*1/x^(2/4)=(1/2)*1/rad4(x)
da dove viene fuori quella x al numeratore e x^6 sotto radice??
un confuso vecchio...
però ora mi fai venire dubbi sulla derivata!!!
io sapevo questo..f'(x^n)=n*x^(n-1) giusto??
applicando questa alla funzione data y=x^(2/4)
(faccio tutti i passaggi)
f'=(2/4)*x(-2/4)
cioè
=(1/2)*1/x^(2/4)=(1/2)*1/rad4(x
)da dove viene fuori quella x al numeratore e x^6 sotto radice??
un confuso vecchio...
y'=x/(2*rad4(x^6)) = x/[2*x^(6/4)] = 1/[2*x^(2/4)] =1/2 * 1/x^(2/4)
come hai scritto tu.
come hai scritto tu.
ah però...me n'ero accorto...sicuro!!!
grazie WonderP..
ciao
il vecchio
grazie WonderP..
ciao
il vecchio
Ho applicato la formula:
D(radn(x))=1/(n*radn(x^(n-1))) o piu' in generale:
D(radn(f(x))=f'(x)/(n*radn(f(x)^(n-1))).
Devi tener presente che x^(2/4) e' solo parzialmente
equivalente alla funzione originaria:infatti essa,come
e' noto dall'algebra,e' definita solo per x>0 mentre la
funzione di partenza lo e' anche per x<=0.
E' una errore nel quale e' facile cadere ,percio'
occorre prudenza.
(Quanto precede del resto ti era gia' stato anticipato
da Camillo).
karl.
D(radn(x))=1/(n*radn(x^(n-1))) o piu' in generale:
D(radn(f(x))=f'(x)/(n*radn(f(x)^(n-1))).
Devi tener presente che x^(2/4) e' solo parzialmente
equivalente alla funzione originaria:infatti essa,come
e' noto dall'algebra,e' definita solo per x>0 mentre la
funzione di partenza lo e' anche per x<=0.
E' una errore nel quale e' facile cadere ,percio'
occorre prudenza.
(Quanto precede del resto ti era gia' stato anticipato
da Camillo).
karl.
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