Punto di discontinuità di 3° specie e derivabilità in quel punto?
Data la funzione f(x): sqrt(x)*lnx per x>0, 0 per x=0 ho individuato x=0 come punto di discontinuità eliminabile estendendo il campo di esistenza al punto stesso. Infatti la funzione in 0 non risulta definita per le condizioni del logaritmo ma esiste ed è finito il limite (calcolato con de l'Hospital, sono certa che sia giusto perchè mi risulta anche dalle soluzioni).
Il problema è... in quel punto a cui ho esteso il dominio della funzione posso calcolare la derivata prima o no?? Dopo averlo compreso per comodità nelle C.D.E. posso ancora dire che la funzione non è definita in quel punto e di conseguenza neanche la derivata prima?? Anche perchè nella derivata prima mi compare ancora il logaritmo e non potrei calcolarne il limite per x che tende a 0 in quanto non esisterebbe... Spero di essere stata abbastanza chiara. Vi ringrazio in anticipo!
Il problema è... in quel punto a cui ho esteso il dominio della funzione posso calcolare la derivata prima o no?? Dopo averlo compreso per comodità nelle C.D.E. posso ancora dire che la funzione non è definita in quel punto e di conseguenza neanche la derivata prima?? Anche perchè nella derivata prima mi compare ancora il logaritmo e non potrei calcolarne il limite per x che tende a 0 in quanto non esisterebbe... Spero di essere stata abbastanza chiara. Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Ciao,
Allora estendendo la funzione $f(x)=\sqrt(x)\log(x)$anche in 0, vai a definire $f(0)=0$ estendendendo di fatto la funzione al dominio $[0,+\infty)$
Puoi certamente calcolare la derivata (destra si intende) utilizzando la definizione:
$lim_{x\to0^+ }(f(x)-f(0))/x=lim_{x\to0^+ }(\sqrt(x)\log(x))/x=lim_{x\to0^+ }(\log(x))/sqrt(x)$ che pero non è finito, quindi di fatto la funzione non è derivabile in 0
Quindi la funzione "estesa" è definita in 0 ma non derivabile.
Spero di averti risposto bene...se hai dubbi chiedi pure!
Allora estendendo la funzione $f(x)=\sqrt(x)\log(x)$anche in 0, vai a definire $f(0)=0$ estendendendo di fatto la funzione al dominio $[0,+\infty)$
Puoi certamente calcolare la derivata (destra si intende) utilizzando la definizione:
$lim_{x\to0^+ }(f(x)-f(0))/x=lim_{x\to0^+ }(\sqrt(x)\log(x))/x=lim_{x\to0^+ }(\log(x))/sqrt(x)$ che pero non è finito, quindi di fatto la funzione non è derivabile in 0
Quindi la funzione "estesa" è definita in 0 ma non derivabile.
Spero di averti risposto bene...se hai dubbi chiedi pure!
Scusami, ho un dubbio... calcolando il limite per x che tende a 0 (+ ovviamente in questo caso) come posso giungere ad un eventuale risultato, seppure questo infinito, dovendo calcolare prima log(0)?? Che non esiste per le C.d.e del logaritmo...
Attenzione! Non puoi calcolare $log(0)$ certo...
Ricordati che stai facendo un limite e quindi $lim_{x->p}f(x)=f(p)$ solo se la funzione è continua in $p$ (in questo non è neanche definita in $p$)
In questo caso non puoi quindi calcolare il limite effettuando "la sostituzione" (tanto per intenderci ES. $lim_{x->2}x^2=2^2=4$)...lo puoi risolvere in questo modo (usando la sostituzione $x=1/y$) : $lim_{x->0}logx/sqrt(x)=\lim_{y\to+\infty}\frac{\log(1/y)}{\sqrt{1/y}}=\lim_{y\to+\infty}-\sqrt{y}\log y$
Ricordati che stai facendo un limite e quindi $lim_{x->p}f(x)=f(p)$ solo se la funzione è continua in $p$ (in questo non è neanche definita in $p$)
In questo caso non puoi quindi calcolare il limite effettuando "la sostituzione" (tanto per intenderci ES. $lim_{x->2}x^2=2^2=4$)...lo puoi risolvere in questo modo (usando la sostituzione $x=1/y$) : $lim_{x->0}logx/sqrt(x)=\lim_{y\to+\infty}\frac{\log(1/y)}{\sqrt{1/y}}=\lim_{y\to+\infty}-\sqrt{y}\log y$
Aggiungo un'altra risposta: Smiley2210 non sta considerando la funzione data ma quella estesa, cioè
$f(x)={(sqrtx ln x if x>0),(0 if x=0):}$
e per questa $f(0)$ esiste e vale zero.
$f(x)={(sqrtx ln x if x>0),(0 if x=0):}$
e per questa $f(0)$ esiste e vale zero.
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