PUNTO di CUSPIDE ...non riuscito!!

[SculacciaGirl]

Salve,
ho la seguente funzione "la scrivo a lettere": Radice cubica di (x al quadrato) meno (x al cubo). Il suo campo di esistenza è tutto R, mentre quello della derivata prima è tutto R meno i punti 0 ed 1. Per 0 il testo mi dà che trattasi di punto di cuspide, il che non mi viene, in quanto il limite sia dx che sn della derivata prima è zero, quindi un valore finito. Qualcuno può aiutarmi a capire? Grazie!

[xico87]

[math] \sqrt[3]{x^2} - x^3 [/math]

?

[ciampax]

No, credo la funzione fosse

[math]f(x)=\sqrt[3]{x^2-x^3}[/math]

la cui derivata è

[math]f'(x)=\frac{2x-3x^2}{3\sqrt[3]{(x^2-x^3)^2}}=\frac{x(2-3x)}{3\sqrt[3]{x^4(1-x)^2}.[/math]

Osserva che in

[math]x=0[/math]

hai una forma indeterminata del tipo

[math]0/0[/math]

, tuttavia

[math]\lim_{x\rightarrow 0^\pm}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0\pm}\frac{x(2-3x)}{3x\sqrt[3]{x(1-x)^2}}=\lim_{x\rightarrow 0^\pm}\frac{(2-3x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)^2}}=\pm\infty[/math]

e quindi la cuspide desiderata.