Punto di cuspide
Devo verificare che $y = sqrt(|x|)$ ha un punto di cuspide in $0$.
$lim_(\Deltax ->0^+) sqrt(|\Deltax|)/(\Deltax) = +oo$ e fino a qui non ci sono problemi.
$lim_ (\Deltax ->0^-) sqrt(|\Deltax)/(\Deltax) = lim_(\Deltax ->0^-) - (\Deltax)^(-1/2) = lim_(\Deltax ->0^-) 1/(sqrt(-Deltax)) = ? $. Ho ovviamente considerato che $|x| = -x$ se $x<0$. Ora, siccome $-\Deltax$ è un numero positivo se consideriamo un intorno sinistro di 0, questo limite non dovrebbe fare $+oo$? Non riesco a capire se ho sbagliato un procedimento algebrico o se ho male interpretato il limite.
Grazie in anticipo.
$lim_(\Deltax ->0^+) sqrt(|\Deltax|)/(\Deltax) = +oo$ e fino a qui non ci sono problemi.
$lim_ (\Deltax ->0^-) sqrt(|\Deltax)/(\Deltax) = lim_(\Deltax ->0^-) - (\Deltax)^(-1/2) = lim_(\Deltax ->0^-) 1/(sqrt(-Deltax)) = ? $. Ho ovviamente considerato che $|x| = -x$ se $x<0$. Ora, siccome $-\Deltax$ è un numero positivo se consideriamo un intorno sinistro di 0, questo limite non dovrebbe fare $+oo$? Non riesco a capire se ho sbagliato un procedimento algebrico o se ho male interpretato il limite.
Grazie in anticipo.
Risposte
il limite sinistro è $-infty$. Infatti giustamente come hai osservato in un intorno sinistro di zero $-Delta x$ è un numero positivo, quindi $Delta x$ è negativo, la radice è per forza positiva e quindi il loro rapporto è negativo.
"ingres":
il limite sinistro è $-infty$. Infatti giustamente come hai osservato in un intorno sinistro di zero $-Delta x$ è un numero positivo, quindi $Delta x$ è negativo, la radice è per forza positiva e quindi il loro rapporto è negativo.
Scusa ma come fa a fare $-oo$ se a numeratore ho 1 e a denominatore ho una quantità sempre positiva (perché sotto radice)?
Quanto vale $Deltax$ a sinistra (dello zero)?
"axpgn":
Quanto vale $Deltax$ a sinistra (dello zero)?
una quantità infinitesimamente piccola ma negativa, però ho il meno davanti che lo rende positivo e pertanto il limite dovrebbe fare $+oo$, sbaglio?
Forse ho sbagliato l'algebra.
$lim_(\Deltax->0^-) - (\Deltax)^(-1/2) = lim_(\Deltax ->0^-) - (1)/sqrt(|Deltax|) = lim_(\Deltax ->0^-) - 1/sqrt(-\Deltax) = -oo$
Così mi troverei con un meno davanti che rende il mio limite $-oo$, però a questo punto mi viene da chiedere perché l'altro mio procedimento fosse sbagliato.
$lim_(\Deltax->0^-) - (\Deltax)^(-1/2) = lim_(\Deltax ->0^-) - (1)/sqrt(|Deltax|) = lim_(\Deltax ->0^-) - 1/sqrt(-\Deltax) = -oo$
Così mi troverei con un meno davanti che rende il mio limite $-oo$, però a questo punto mi viene da chiedere perché l'altro mio procedimento fosse sbagliato.
Ma scusami, tu scrivi $Deltax -> 0^-$ ovvero implicitamente ammetti che stai considerando solo $Deltax$ negativo ed inoltre il limite che stai considerando ha il numeratore positivo e il denominatore negativo, quindi non devi neanche fare lo sforzo di pensare a quale sia il segno della frazione, no?
"HowardRoark":
però a questo punto mi viene da chiedere perché l'altro mio procedimento fosse sbagliato.
Perché semplifichi "a capocchia" ...
"axpgn":
[quote="HowardRoark"] però a questo punto mi viene da chiedere perché l'altro mio procedimento fosse sbagliato.
Perché semplifichi "a capocchia" ...
[/quote]Ma quindi ho fatto bene nel secondo caso? Perché nel primo a me sembra evidente che il limite dovrebbe essere $+oo$, al denominatore ho una radice quadrata, non è mai negativa (infatti ho preso proprio $-\Deltax$ stando attento a non portare il meno fuori dalla radice).
"HowardRoark":
Perché ... al denominatore ho una radice quadrata,
Ma non è vero! Te l'ho appena detto che hai semplificato male e peraltro inutilmente perchè se rileggi il mio post precedente ti ho dimostrato che non devi fare conti ma solo guardarlo quel limite ...
Quando si ha a che fare con valori assoluti (e radici pari) bisogna andarci cauti (a meno di essere "collaudati"
)
sì mi sono reso conto guardando il primo termine che è chiaro che la frazione debba essere negativa. Devo esercitarmi coi valori assoluti.
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