Punti e tipi di discontinuità
Buongiorno, dovrei vedere che tipo di discontinuità c'è nel punto $ x=1 $ in questa funzione:
$ 1/(1-3^(1/(x-1)) $ ;
Facendo i limiti per $ 1^+ $ e $ 1^- $ al denominatore mi ritrovo rispettivamente un $ 3^(+ oo) $ e $ 3^(- oo) $
che dovrebbero essere una forma indeterminata. In tal caso, come posso eliminarla? Limiti notevoli? Ma al momento mi sfugge
$ 1/(1-3^(1/(x-1)) $ ;
Facendo i limiti per $ 1^+ $ e $ 1^- $ al denominatore mi ritrovo rispettivamente un $ 3^(+ oo) $ e $ 3^(- oo) $
che dovrebbero essere una forma indeterminata. In tal caso, come posso eliminarla? Limiti notevoli? Ma al momento mi sfugge
Risposte
I limiti di una funzione esponenziale, con base costante, quando l'esponente tende all'infinito non sono forme indeterminate.
Ciao
Ciao
quindi.... $ 3^(+oo ) $ e $ 3^(-oo ) $ quanto fa? 
grazie 
grazie
Hai presente la funzione $a^x$ (con $a>1$) e il suo grafico? E' una di quelle funzioni fondamentali da sapere "a memoria"
$3^(+infty)=+infty$
$3^(-infty)=0$
ti allego il grafico della funzione $3^x$ ma ripassati, consiglio, i grafici della funzione generica $a^x$ nei due casi possibili
1) $a>1$
2) $0
ciao!
$3^(+infty)=+infty$
$3^(-infty)=0$
ti allego il grafico della funzione $3^x$ ma ripassati, consiglio, i grafici della funzione generica $a^x$ nei due casi possibili
1) $a>1$
2) $0
ciao!
"Frasandro":
quindi.... $ 3^(+oo ) $ e $ 3^(-oo ) $ quanto fa?
Ti hanno già consigliato bene ma talvolta basta solo un po' di logica ...
$3^2=9; 3^3=27; 3^4=81; ... ; 3^(+infty)=?$
$3^(-2)=1/3^2=1/9; 3^(-3)=1/3^3=1/27; 3^(-4)=1/3^4=1/81; ... ; 3^(-infty)=1/3^(+infty)=?$
un pò di logica e lucidità.... grazie mille a tutti, adesso tutto OK 
altro piccolo problemino ... con questo: $ (2x)/sin(3x) $ con $ -pi/2<= x<= pi/2 $
Io ho provato a risolvere l'equazione $ sin(3x)!= 0 $ applicando la sostituzione $ 3x=t $ cioè $ sin(t)!= 0 $ ma qualche dubbio mi rimane
... con questo: $ (2x)/sin(3x) $ con $ -pi/2<= x<= pi/2 $ Io ho provato a risolvere l'equazione $ sin(3x)!= 0 $ applicando la sostituzione $ 3x=t $ cioè $ sin(t)!= 0 $ ma qualche dubbio mi rimane
Perchè non scrivi i tuoi dubbi?
deve essere
$sin (3x) != 0$
cioè
$3x!= kpi$
cioè
$x!= k pi/3$
che cosa ti turbava?
deve essere
$sin (3x) != 0$
cioè
$3x!= kpi$
cioè
$x!= k pi/3$
che cosa ti turbava?
Quel $ -pi/2<= x<= pi/2 $ mi turba [emoji28] [emoji29]... Quindi in quale punto la funzione è discontinua? Devo studiarne la loro specie...
Allora, andiamo con ordine...
la funzione è discontinua in $k pi/3$ come scrivevo sopra (con $k=0, +-1,+-2,..$)
Poi l'esercizio dice che il DOMINIO della funzione deve essere ristretto a $-pi/2<=x<=pi/2$
quindi all'interno di tale dominio individuiamo i punti
$x_1=-pi/3$
$x_2=0$
$x_3=+pi/3$
in cui ci sono delle discontinuità... sai dire come si comporta li la funzione?
a naso $x_1$ e $x_3$ sono asintoti verticali ma...
in particolare è interessante il punto $x_2$ perchè si annullano sia il numeratore che il denominatore, è una forma indeterminata da studiare... con i limiti... potrebbe anche non essere una discontinuità... o essere eliminabile... scrivi le tue considerazioni
la funzione è discontinua in $k pi/3$ come scrivevo sopra (con $k=0, +-1,+-2,..$)
Poi l'esercizio dice che il DOMINIO della funzione deve essere ristretto a $-pi/2<=x<=pi/2$
quindi all'interno di tale dominio individuiamo i punti
$x_1=-pi/3$
$x_2=0$
$x_3=+pi/3$
in cui ci sono delle discontinuità... sai dire come si comporta li la funzione?
a naso $x_1$ e $x_3$ sono asintoti verticali ma...
in particolare è interessante il punto $x_2$ perchè si annullano sia il numeratore che il denominatore, è una forma indeterminata da studiare... con i limiti... potrebbe anche non essere una discontinuità... o essere eliminabile... scrivi le tue considerazioni
Innanzitutto grazie per il tuo ottimo intervento 
!!
Ho fatto un paio di calcoli e provo a rispondere alle tue domande:
- Il $ lim_(x -> -pi/3) f(x) $ e il $ lim_(x -> +pi/3) f(x) $ tendono entrambi a $ +oo $, almeno dovrebbero.... ;
- per quanto riguarda il $ lim_(x -> 0^+-) (2x)/ sin (3x)= lim_(x -> 0^+-) (2x)/ [(sin (3x)/ (3x)3x)] = (2x)/(3x)=2/3 $
e quindi dovrebbe essere un punto di discontinuità eliminabile.
Ci siamo? 
!!Ho fatto un paio di calcoli e provo a rispondere alle tue domande:
- Il $ lim_(x -> -pi/3) f(x) $ e il $ lim_(x -> +pi/3) f(x) $ tendono entrambi a $ +oo $, almeno dovrebbero
.... ;- per quanto riguarda il $ lim_(x -> 0^+-) (2x)/ sin (3x)= lim_(x -> 0^+-) (2x)/ [(sin (3x)/ (3x)3x)] = (2x)/(3x)=2/3 $
e quindi dovrebbe essere un punto di discontinuità eliminabile.
Ci siamo?
Yes
Ottimo Frasandro!
nel punto $x_2$ hai una discontinuità eliminabile perchè la funzione vale $2/3$ sia a sinistra che a destra
Ma nei punti $x_1$ e $x_3$? non puoi fare i limiti
$lim_(x->(pi/3)) f(x)$ e $lim_(x->(-pi/3)) f(x)$
perchè la funzione in $pi/3$ e in $-pi/3$ non esiste... devi fare i limiti sinistro e destro e vedere quanto vengono separatamente
$lim_(x->(pi/3)^+)f(x)=-infty$
$lim_(x->(pi/3)^-)f(x)=+infty$
$lim_(x->(-pi/3)^+)f(x)=+infty$
$lim_(x->(-pi/3)^-)f(x)=-infty$
se non vado errato...
riesci a fare un disegno approssimativo della funzione con queste informazioni che hai??
nel punto $x_2$ hai una discontinuità eliminabile perchè la funzione vale $2/3$ sia a sinistra che a destra
Ma nei punti $x_1$ e $x_3$? non puoi fare i limiti
$lim_(x->(pi/3)) f(x)$ e $lim_(x->(-pi/3)) f(x)$
perchè la funzione in $pi/3$ e in $-pi/3$ non esiste... devi fare i limiti sinistro e destro e vedere quanto vengono separatamente
$lim_(x->(pi/3)^+)f(x)=-infty$
$lim_(x->(pi/3)^-)f(x)=+infty$
$lim_(x->(-pi/3)^+)f(x)=+infty$
$lim_(x->(-pi/3)^-)f(x)=-infty$
se non vado errato...
riesci a fare un disegno approssimativo della funzione con queste informazioni che hai??
Buon pomeriggio ragazzi 
!!
Rimanendo sempre in tema, cioè punti di discontinuità, di non derivabilità ecc. ecc mi è venuto un dubbio.
Allora, quando vado a calcolare il $ lim_(x -> x_0^+-) $ di una funzione continua e risultano entrambi $ +-oo $
la funzione non è derivabile in $ x_0 $ e presenta un punto di flesso a tangente verticale.
Ma in quale caso parliamo di flesso a tangente orizzontale o obliqua
... oppure possiamo parlare solo di punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale?
!!Rimanendo sempre in tema, cioè punti di discontinuità, di non derivabilità ecc. ecc mi è venuto un dubbio
.Allora, quando vado a calcolare il $ lim_(x -> x_0^+-) $ di una funzione continua e risultano entrambi $ +-oo $
la funzione non è derivabile in $ x_0 $ e presenta un punto di flesso a tangente verticale.
Ma in quale caso parliamo di flesso a tangente orizzontale o obliqua
... oppure possiamo parlare solo di punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale?
Sono cose diverse
Flessi tg verticale cuspidi e punti angolosi sono punti in cui la funzione non è derivabile
Invece flessi tg orizzontale o obliqua sono punti in cui la derivata esiste.
Li trovi banalmente con delle operazione di limite
Flessi tg verticale cuspidi e punti angolosi sono punti in cui la funzione non è derivabile
Invece flessi tg orizzontale o obliqua sono punti in cui la derivata esiste.
Li trovi banalmente con delle operazione di limite
"mazzarri":
Invece flessi tg orizzontale o obliqua sono punti in cui la derivata esiste.
Li trovi banalme te con delle operaxione di limite
come faccio a distinguerli, cioè... calcolo i limiti (della derivata, prima o seconda?!) e poi? Per dire che è un flesso a tg orizzontale o obliqua che risultati devo ottenere?
Thanks
No e molto piu semplice
Adesso sono col cellulare mi è difficile scrivere
Flessi tg orizz li trovi con la derivata prima la metti iguale a zero per trovare minimi e massimi
Poi studi il segno
Se a destra e positiva (o negativa)e a sinistra anche... non puoi avere max o min ma fless tg or
Esempio funzione x al cubo nella origine degli assi provaci a vederlo da solo
Adesso sono col cellulare mi è difficile scrivere
Flessi tg orizz li trovi con la derivata prima la metti iguale a zero per trovare minimi e massimi
Poi studi il segno
Se a destra e positiva (o negativa)e a sinistra anche... non puoi avere max o min ma fless tg or
Esempio funzione x al cubo nella origine degli assi provaci a vederlo da solo
ahhhhh okok, esatto ... hai ragione... forse ho capito. Appena puoi, gentilmente, fammi una piccola "ricapitolazione"!
Grazie in anticipo, nel frattempo controllo qualche studio di funzione che ho fatto
Grazie in anticipo, nel frattempo controllo qualche studio di funzione che ho fatto
Quindi flesso tg or fai derivata prima e studi ilsegno
Se positivo o negativo sia a destra che a sinistra hai f.t.o.
ma qui dal cellulare e un delirio comunicare ti rispondo meglio stasera scusa
Se positivo o negativo sia a destra che a sinistra hai f.t.o.
ma qui dal cellulare e un delirio comunicare ti rispondo meglio stasera scusa
"Frasandro":
ahhhhh okok, esatto ... hai ragione... forse ho capito. Appena puoi, gentilmente, fammi una piccola "ricapitolazione"!
Grazie in anticipo, nel frattempo controllo qualche studio di funzione che ho fatto
Si stasera abbi pazienza rispondo e ti metto qualche esempio che pioi vedere da solo
Ciao Frasandro!
Sono davanti al pc posso finalmente scrivere
Allora
A) Flesso tangente orizzontale: fai la derivata prima della funzione e vedi dove si annulla. In quei punti puoi avere massimo, minimo oppure flesso tangente orizzontale. Da che cosa dipende?? dal segno della derivata che andrai a studiare. Hai quattro casi possibili:
1) derivata positiva a sinistra e negativa a destra (MASSIMO)
2) derivata negativa a sinistra e positiva a destra (MINIMO)
3) derivata positiva sia a sinistra che a destra (FLESSO TG. ORIZZONTALE)
4) derivata negativa sia a sinistra che a destra (FLESSO TG. ORIZZONTALE)
Alcuni preferiscono (per esempio io
) usare il metodo delle derivate successive, cercati qualcosa in giro... anzichè fare disequazioni io preferisco a volte (ma non sempre, dipende dalla difficoltà) derivare più volte, fai la derivata seconda, terza, quarta... (sempre calcolata nel punto di cui non conosci ancora la natura) e se la prima derivata a NON annullarsi nel tuo punto è di ordine dispari hai un flesso a tangente orizzontale... se invece fosse di ordine pari e fosse positiva hai un minimo, se fosse di ordine pari ma negativa hai un massimo... è un "metodo" molto efficace quando derivare non è un problema
Un esempio: la funzione $y=x^3$ nel punto $O(0,0)$ prova coi due metodi
prova invece la funzione $y=x^7$ sempre nell'origine col metodo derivate successive
B) asintoto OBLIQUO (forse intendevi questo?)
lo trovi quando la tua funzione all'infinito tende ad avvicinarsi a una retta $y=mx+q$
puoi distinguere tra asintoto obliquo destro e sinistro perchè a volte c'è solo uno dei due... a volte sono differenti...
per vedere se c'è è molto semplice: fai i limiti
$lim_(x->+-infty) (f(x))/x =m$
e se esiste ed è finito questo limite (e diverso da zero) esso equivale al coefficiente angolare della tua retta
se hai trovato $m$ allora vai avanti per trovare $q$
$q=lim_(x->+-infty) (f(x)-mx)$
come esempio, prova a svolgerlo tu
$y=(x^2+3)/(x+2)$
dovresti trovare come asintoto obliquo destro e sinistro la retta $y=x-2$ ma controlla!!
in generale, ma non è sempre vero, è buona norma vedere se hai delle banali frazioni con polinomi e se il numeratore è solo UN grado superiore al denominatore... di solito lo becchi così a occhio...
C) Flesso tangente obliqua (se volevi questo invece): è un flesso "normale"... quello per definizione dove la f(x) cambia di concavità... lo trovi cercando i punti che annullano la derivata seconda e ancora provando con le disequazioni che ci sia effettivamente il cambio di concavità... insomma è un normale flesso che non ha tangente orizzontale nè verticale ma, appunto... obliqua!
Come avrai notato i punti A e C individuano flessi che sono punti in cui la funzione è definita e in cui la derivata prima esiste!!! Invece i punti angolosi, le cuspidi e i flessi a tangente verticale sono 3 esempi di punti in cui la funzione NON è derivabile e valuti la derivata a destra e a sinistra di tali punti come si comporta, se va all'infinito o se tende a un valore finito
forse li conosci già, ma come esempi direi
D) Punto angoloso $y=|x|$ sempre nella origine
E) cuspide: $y=root(3)((x-1)^2)$ in $x=1$
F) Flesso tg. Verticale: $y=root(3)x$ sempre nell'origine
ciao!
Sono davanti al pc posso finalmente scrivere
Allora
A) Flesso tangente orizzontale: fai la derivata prima della funzione e vedi dove si annulla. In quei punti puoi avere massimo, minimo oppure flesso tangente orizzontale. Da che cosa dipende?? dal segno della derivata che andrai a studiare. Hai quattro casi possibili:
1) derivata positiva a sinistra e negativa a destra (MASSIMO)
2) derivata negativa a sinistra e positiva a destra (MINIMO)
3) derivata positiva sia a sinistra che a destra (FLESSO TG. ORIZZONTALE)
4) derivata negativa sia a sinistra che a destra (FLESSO TG. ORIZZONTALE)
Alcuni preferiscono (per esempio io
) usare il metodo delle derivate successive, cercati qualcosa in giro... anzichè fare disequazioni io preferisco a volte (ma non sempre, dipende dalla difficoltà) derivare più volte, fai la derivata seconda, terza, quarta... (sempre calcolata nel punto di cui non conosci ancora la natura) e se la prima derivata a NON annullarsi nel tuo punto è di ordine dispari hai un flesso a tangente orizzontale... se invece fosse di ordine pari e fosse positiva hai un minimo, se fosse di ordine pari ma negativa hai un massimo... è un "metodo" molto efficace quando derivare non è un problemaUn esempio: la funzione $y=x^3$ nel punto $O(0,0)$ prova coi due metodi
prova invece la funzione $y=x^7$ sempre nell'origine col metodo derivate successive
B) asintoto OBLIQUO (forse intendevi questo?)
lo trovi quando la tua funzione all'infinito tende ad avvicinarsi a una retta $y=mx+q$
puoi distinguere tra asintoto obliquo destro e sinistro perchè a volte c'è solo uno dei due... a volte sono differenti...
per vedere se c'è è molto semplice: fai i limiti
$lim_(x->+-infty) (f(x))/x =m$
e se esiste ed è finito questo limite (e diverso da zero) esso equivale al coefficiente angolare della tua retta
se hai trovato $m$ allora vai avanti per trovare $q$
$q=lim_(x->+-infty) (f(x)-mx)$
come esempio, prova a svolgerlo tu
$y=(x^2+3)/(x+2)$
dovresti trovare come asintoto obliquo destro e sinistro la retta $y=x-2$ ma controlla!!
in generale, ma non è sempre vero, è buona norma vedere se hai delle banali frazioni con polinomi e se il numeratore è solo UN grado superiore al denominatore... di solito lo becchi così a occhio...
C) Flesso tangente obliqua (se volevi questo invece): è un flesso "normale"... quello per definizione dove la f(x) cambia di concavità... lo trovi cercando i punti che annullano la derivata seconda e ancora provando con le disequazioni che ci sia effettivamente il cambio di concavità... insomma è un normale flesso che non ha tangente orizzontale nè verticale ma, appunto... obliqua!
Come avrai notato i punti A e C individuano flessi che sono punti in cui la funzione è definita e in cui la derivata prima esiste!!! Invece i punti angolosi, le cuspidi e i flessi a tangente verticale sono 3 esempi di punti in cui la funzione NON è derivabile e valuti la derivata a destra e a sinistra di tali punti come si comporta, se va all'infinito o se tende a un valore finito
forse li conosci già, ma come esempi direi
D) Punto angoloso $y=|x|$ sempre nella origine
E) cuspide: $y=root(3)((x-1)^2)$ in $x=1$
F) Flesso tg. Verticale: $y=root(3)x$ sempre nell'origine
ciao!
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