Punti di flesso
Salve a tutti.
Sul mio libro di testo viene presentato un esempio di ricerca dei punti di flesso della seguente funzione:
\(\displaystyle y=\frac{1}{6}\ x^6-\frac{3}{5}\ x^5+\frac{3}{4}\ x^4-\frac{1}{3}\ x^3 \)
Viene calcolata la derivata prima e la derivata seconda:
\(\displaystyle y'=x^2(x-1)^3 \)
\(\displaystyle y''=x(x-1)^2(5x-2) \)
I punti che annullano la derivata seconda sono:
\(\displaystyle x=0, x=\frac{2}{5}, x=1 \)
Studiando il segno della derivata seconda si ricava che la funzione ha un flesso discendente in x=0 ed un flesso ascendente in x=2/5. Tuttavia il libro afferma che in x=1 non vi è un flesso perchè y'' non cambia segno passando da un intorno sinistro ad un intorno destro di x=1.
Sono d'accordo che la concavità non cambi, tuttavia ritengo che x=1 sia un flesso a tangente orizzontale perchè in x=1 la derivata prima si annulla. Ed inoltre col metodo delle derivate successive risulta essere che la derivata quinta è maggiore di zero, il che dovrebbe indicare un flesso orizzontale ascendente.
Il mio ragionamento è corretto?
Sul mio libro di testo viene presentato un esempio di ricerca dei punti di flesso della seguente funzione:
\(\displaystyle y=\frac{1}{6}\ x^6-\frac{3}{5}\ x^5+\frac{3}{4}\ x^4-\frac{1}{3}\ x^3 \)
Viene calcolata la derivata prima e la derivata seconda:
\(\displaystyle y'=x^2(x-1)^3 \)
\(\displaystyle y''=x(x-1)^2(5x-2) \)
I punti che annullano la derivata seconda sono:
\(\displaystyle x=0, x=\frac{2}{5}, x=1 \)
Studiando il segno della derivata seconda si ricava che la funzione ha un flesso discendente in x=0 ed un flesso ascendente in x=2/5. Tuttavia il libro afferma che in x=1 non vi è un flesso perchè y'' non cambia segno passando da un intorno sinistro ad un intorno destro di x=1.
Sono d'accordo che la concavità non cambi, tuttavia ritengo che x=1 sia un flesso a tangente orizzontale perchè in x=1 la derivata prima si annulla. Ed inoltre col metodo delle derivate successive risulta essere che la derivata quinta è maggiore di zero, il che dovrebbe indicare un flesso orizzontale ascendente.
Il mio ragionamento è corretto?
Risposte
In $x=1$ hai sicuramente una tangente orizzontale, perché la derivata prima si annulla, ma non hai un flesso in quanto la derivata seconda non cambia segno. Controlla bene, anche la derivata quarta è positiva per $x=1$, quindi $x=1$ è un punto di minimo.
Ok, ho capito. Grazie mille
Restando in tema, volevo chiederti visto che la derivata prima uguale a zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per avere un punto di minimo o di massimo, se vale anche lo stesso per la derivata seconda. Ovvero la derivata seconda uguale a zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per avere punti di flesso?
Restando in tema, volevo chiederti visto che la derivata prima uguale a zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per avere un punto di minimo o di massimo, se vale anche lo stesso per la derivata seconda. Ovvero la derivata seconda uguale a zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per avere punti di flesso?
"Phoenix23":
la derivata prima uguale a zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per avere un punto di minimo o di massimo
Non è necessario.
Considera $y=x^n$ ($n$ un intero positivo) per $x\in [0,1]$. Ha un massimo a $x=1$.
$y=|x|$ ha un minimo a $x=0$.
"ghira":
Considera $y=x^n$ ($n$ un intero positivo) per $x\in [0,1]$. Ha un massimo a $x=1$.
$y=|x|$ ha un minimo a $x=0$.
Ok, dagli esempi che mi hai fornito credo di aver capito che esistono massimi e minimi "non stazionari".
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