Punti di discontinuità e di non derivabilità.

[miik91]

Salve a tutti. Studiando una funzione mi sono sorte diverse domande che mi hanno un po confuso le idee o meglio creato qualche dubbio riguarda i punti di discontinuità e di non derivabilità di una funzione. Partendo dal fatto che un punto di discontinuità è anche un punto di non derivabilità volevo chidere dei chiarimenti riguardo le singole specie di punti di discontinuità e come trattarli nello studio di una funzione.
Cominciando dalla discontinuità eliminabile, una volta constatato che il limite destro della funzione è uguale al limitè sinistro per x->x0, ma diverso da f(x0) posso affermare che il punto è didiscontinuità eliminabile giusto?? una volta fatto ciò è necessario studiare i limiti destro e sinistro della derivata in quel punto? ovvero è necessario specificare qualcos altro riguardo quel punto, o non bisogna studiare la derivata nel punto in questione??
Stesso discorso per la discontinuità di tipo salto: una volta constatato che in un punto si ha una discontinuità di tipo salto studiando i limiti destro e sinistro, bisogna anke studiare i limiti della derivata per affermare qualcos altro o sarebbe inutile?
stessa domanda anche per la discontinuità di secopnda specie.

Infine ho una domanda a riguarda anche più specifica che mi è sorta studiando questa funzione:

f(x)=(x-1)/(x*|ln(x)|)

ho studiato questa funzione prima senza il valore assoluto e poi ho capovolto il grafico ottenuto rispetto all asse delle x solo per x

[BIT5]

Se il limite destro e il limite sinistro di una funzione sono uguali, la discontinuita' e' eliminabile.
Ma studiare il limite sinistro e il limite destro della derivata serve a poco.
In fondo la derivata prima esprime la pendenza della retta tangente.
Quindi una volta che studi il comportamento della derivata al tendere al punto di discontinuita' otterresti un'informazione relativa all'andamento della curva in prossimita' di quel punto e nulla di piu'.

Calcolare la derivata in un punto di discontinuita' non ha senso, perche' se la funzione non esiste in quel punto, non esiste neanche la derivata..

Per quanto riguarda il flesso, la derivata seconda ti fornisce l'informazione necessaria se il flesso e' a tangente non orizzontale.

Infatti se hai un punto di flesso a tangente orizzontale, l'informazione la ottieni gia' dallo studio della derivata prima (che ti dice che in quel punto la derivata e' zero, nonostante prima e dopo quel punto mantiene l'andamento crescente o decrescente)

Se invece il flesso e' a tangente non orizzontale, allora lo noti perche' la derivata seconda cambia segno in quel punto.

Erano parecchie domande, non so se sono riuscito a sintetizzare la risposta..

altrimenti chiedi.

[miik91]

grazie mille sei stato motlo esaustivo. In effetti la cosa che maggiormente mi interessava è che mi aveva creato dei dubbi era se si dovesse studiare la derivata nei punti di discontinuità. Ho solo un ultima domanda: riguardo la funzione che ho postato, devo giustificare il flesso che si viene a creare capovolgendo il grafico ottenuto studiando la funzione senza modulo rispetto all asse delle x, per x

[BIT5]

tu hai una funzione:

[math] f(x)= \frac{x-1}{x |\log x|} [/math]

Il che equivale a

[math] f(x)= \{ \frac{x-1}{x \log x} x \ge 1 \\ - \frac{x-1}{x \log x} x

[miik91]

ok tutto chiaro grazie mille!!

[ciampax]

Allora, vediamo di spiegare per bene.

Per prima cosa, come giustamente affermavi, siamo certi che se un punto è di discontinuità, è anche di non derivabilità. Detto questo, analizziamo i vari casi:

1) discontinuità di prima specie: in questo caso si ha un salto dato da

[math]s=\ell_+-\ell_-[/math]

(la differenza tra i valori dei limiti destro e sinistro). In questo caso conviene calcolare anche il valore della derivata (destra e sinistra) in tale punto, in quanto ciò ti permette di dire come la curva "parte" da quel punto. Infatti, supponiamo che hai visto che

[math]\ell_+=1,\ \ell_-=1[/math]

e che

[math]f'(x_0^+)=2,\ f'(x_0^-)=-2[/math]

. Questo vuol dire che la funzione arriva al punto

[math](x_0,-1)[/math]

(da sinistra) con una tangente di coefficiente angolare -2, mentre parte dal punto

[math](x_0,1)[/math]

(proseguendo verso destra) con una tangente di coefficiente angolare 2. Questo ti permette di capire meglio come disegnare la funzione in un intorno del punto di discontinuità;

2) discontinuità di seconda specie: in questo caso, avendosi limiti che tendono ad infinito, non hai nessuna informazione utile dalle derivate in quanto (si può dimostrare) anche queste tendono ad infinito;

3) discontinuità di terza specie o eliminabile: allora, qui dobbiamo fare attenzione. Supponiamo di aver dimostrato che

[math]\li_{x\rightarrow x_0} f(x)=\ell\neq f(x_0)[/math]

o perché valori diversi oppure perché

[math]x_0[/math]

non appartiene al dominio. Quello che fai è allora "creare" la nuova funzione definita così

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
f(x) & & x\neq x_0\\ & & \\ \ell & & x=x_0
\end{array}\right.[/math]

Fai molta attenzione: la funzione che ottieni includendo il valore del limite (e quindi eliminando la discontinuità) è una funzione diversa dalla precedente. Esse coincidono su tutti i punti, tranne che in quello che per la prima è di discontinuità, mentre per la seconda non lo è (anzi, risulta incluso nel dominio!) A questo punto capirai da te che, studiare il valore delle derivate in tale punto, rientra nella stessa casistica della discontinuità di prima specie.

[miik91]

ok grazi millle come sempre sei stato preciso ed illuminante!! da quanto ho capito però penso che studiare la derivata nei punti di discontinuità non rientri in quello che è un classico studio di funzione, ma sia già un lavoro per essere leggermente più precisi, in quanto in pratica ci consente esclusivamente di poter tracciare in maniera più precisa il grafica nell intorno del punto di discontinuità, giusto?

[ciampax]

Esatto.