Proprietà prodotto sommatorie
Stavo cercando di capire che relazione ci fosse tra $\sum_{k=1}^{n} k * \sum_{k=1}^{n} k$ e $\sum_{k=1}^{n} k^2$ e sono arrivato a scoprire qualcosa...
$\sum_{k=1}^{n} k * \sum _{j=1}^{n} j = sqrt(\sum_{k=1}^{n} k^3 * \sum_{j=1}^{n} j^3)$
...credo che sia una proprietà conosciuta...sapete dirmi qualcosa a riguardo? (da dove salta fuori per esempio)
$\sum_{k=1}^{n} k * \sum _{j=1}^{n} j = sqrt(\sum_{k=1}^{n} k^3 * \sum_{j=1}^{n} j^3)$
...credo che sia una proprietà conosciuta...sapete dirmi qualcosa a riguardo? (da dove salta fuori per esempio)
Risposte
La formula che hai riportato si può scrivere in buona sostanza al seguente modo :
$ sum_{k=1}^n k^3=(sum_{k=1}^n k)^2$
Ovvero :
$sum_{k=1}^n k^3=[{n(n+1)}/2]^2$
Si tratta di un risultato noto di cui puoi trovare la facile dimostrazione su testi di algebra elementare.
Di norma si parte dalla identità :
$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$
e poi vi si fa variare k da 1 ad n.
$ sum_{k=1}^n k^3=(sum_{k=1}^n k)^2$
Ovvero :
$sum_{k=1}^n k^3=[{n(n+1)}/2]^2$
Si tratta di un risultato noto di cui puoi trovare la facile dimostrazione su testi di algebra elementare.
Di norma si parte dalla identità :
$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$
e poi vi si fa variare k da 1 ad n.
Grazie...ne approfitto per chiederti quello che era il mio obiettivo iniziale... Come calcolo $\sum_{k=1}^{n} k^2$??
Ps: io non ho testi di algebra in cui si parli di sommatorie...purtroppo faccio ancora la quarta superiore e a scuola non ho mai sentito nominare queste cose. Scusa se sembrano banali ma sto facendo tutto da solo e senza testi su cui basarmi...
Ps: io non ho testi di algebra in cui si parli di sommatorie...purtroppo faccio ancora la quarta superiore e a scuola non ho mai sentito nominare queste cose. Scusa se sembrano banali ma sto facendo tutto da solo e senza testi su cui basarmi...
Per ciò che chiedi puoi agire in maniera analoga :
$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$
Adesso fai variare k da 1 ad n :
$2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1$
$3^3-2^3=3\cdot 2^2+3\cdot 2+1$
$4^3-3^3=3\cdot 3^2+3\cdot 3+1$
.........................................
$n^3-(n-1)^3=3\cdot (n-1)^2+3\cdot (n-1)+1$
$(n+1)^3-n^3=3\cdot n^2+3\cdot n+1$
Sommando membro a membro hai :
(1) $(n+1)^3-1^3=3[1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2]+3[1+2+3+...+(n-1)+n]+n$
Tenuto conto che $1+2+3+...+(n-1)+n={n(n+1)}/2$, con qualche calcolo dalla (1) si ricava che :
$1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6$
$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$
Adesso fai variare k da 1 ad n :
$2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1$
$3^3-2^3=3\cdot 2^2+3\cdot 2+1$
$4^3-3^3=3\cdot 3^2+3\cdot 3+1$
.........................................
$n^3-(n-1)^3=3\cdot (n-1)^2+3\cdot (n-1)+1$
$(n+1)^3-n^3=3\cdot n^2+3\cdot n+1$
Sommando membro a membro hai :
(1) $(n+1)^3-1^3=3[1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2]+3[1+2+3+...+(n-1)+n]+n$
Tenuto conto che $1+2+3+...+(n-1)+n={n(n+1)}/2$, con qualche calcolo dalla (1) si ricava che :
$1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6$
"kobeilprofeta":
Stavo cercando di capire che relazione ci fosse tra $\sum_{k=1}^{n} k * \sum_{k=1}^{n} k$ e $\sum_{k=1}^{n} k^2$ e sono arrivato a scoprire qualcosa...
$\sum_{k=1}^{n} k * \sum _{j=1}^{n} j = sqrt(\sum_{k=1}^{n} k^3 * \sum_{j=1}^{n} j^3)$
...credo che sia una proprietà conosciuta...sapete dirmi qualcosa a riguardo? (da dove salta fuori per esempio)
La soluzione di ciromario è esatta. Più in generale tu chiedevi che tipo di relazione c'è tra \(\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{n}{k}\right)^2 \) e \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k^2} \)
Ora, sapendo che
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2} \)
e
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
posto \(\displaystyle S(n)=\frac{n(n+1)}{2} \) e \(\displaystyle P(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) e osservato che
\(\displaystyle P(n)=\frac{2n+1}{3}S(n) \)
cioè
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{3}{2n+1}\sum_{k=1}^{n}{k^2} \)
Per quanto riguarda poi, il prodotto generico di successioni (o di serie) potrebbe esserti utile il Prodotto di Cauchy...
...e, da quello che ho capito, anche questo link
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