Proprietà ottiche delle Iperboli
Salve a tutti !!
Ho letto sul mio libro di Geo Analitica che un'iperbole ha una interessante
proprietà:
se da un fuoco faccio partire una semiretta che incontra
un ramo dell'iperbole inunpunto P e tale semiretta viene "riflessa"
sul ramo (la semiretta riflessa è simmetrica rispetto alla normale all'iperbole
nel punto di intersezione tra prima semiretta e iperbole) ,
la semiretta riflessa coincide con la semiretta uscente dall'altro
fuoco dell'iperbole e passante per il punto P.
Ovviamente sui libri delle superiori non c'è traccia di dimostrazione di sto fatto..
C'è qualcuno che sa dimostrarmi perché è effettivamente così ??
Grazie
MANU
Ho letto sul mio libro di Geo Analitica che un'iperbole ha una interessante
proprietà:
se da un fuoco faccio partire una semiretta che incontra
un ramo dell'iperbole inunpunto P e tale semiretta viene "riflessa"
sul ramo (la semiretta riflessa è simmetrica rispetto alla normale all'iperbole
nel punto di intersezione tra prima semiretta e iperbole) ,
la semiretta riflessa coincide con la semiretta uscente dall'altro
fuoco dell'iperbole e passante per il punto P.
Ovviamente sui libri delle superiori non c'è traccia di dimostrazione di sto fatto..
C'è qualcuno che sa dimostrarmi perché è effettivamente così ??
Grazie
MANU
Risposte
Questo problema è collegato a una particolare proprietà tangenziale dell'iperbole, in base alla quale ogni retta tangente ad un'iperbole in un punto $P$ biseca l'angolo formato da due semirette che congiungono quel punto con i fuochi dell'iperbole; da qui poi si deduce facilmente la tua tesi.
Per dimostrare questa proprietà tangenziale dell'iperbole si può fare così.
Consideriamo una retta $l$ e due punti $P$ e $Q$ situati in parti opposte rispetto alla retta data. Ci proponiamo di trovare un punto $R$ su $l$ tale che il valore assoluto della differenza $PR-QR$ sia massimo. Si dimostra (facilmente) che il punto desiderato è il punto di intersezione tra la retta $l$ con la retta passante per $Q$ e $P'$, (o tra $P$ e $Q'$) dove $P'$ (e similmente $Q'$) indica il simmetrico di $P$ (o di $Q$) rispetto alla retta $l$. Questo punto $R$ è tale che gli angoli formati da $l$ con $QR$ e $PR$ siano congruenti; dunque $l$ biseca l'angolo $/_QRP$.
Ora se indichiamo con $2a$ il massimo valore della differenza $|PR-QR|$ si può considerare il luogo dei punti del piano per cui $|PR-QR|=2a$. Come noto questo luogo è un'iperbole avente per fuochi $P$ e $Q$ e passante per il punto $R$. Per il ragionamento fatto primo la retta $l$ (che è tangente all'iperbole in $R$ e non può essere altrimenti perchè nel qual caso si troverebbe un altro punto per cui la differenza $|PR-QR|$ sia maggiore del valore trovato prima, il che è assurdo) biseca l'angolo $/_QRP$.
Per dimostrare questa proprietà tangenziale dell'iperbole si può fare così.
Consideriamo una retta $l$ e due punti $P$ e $Q$ situati in parti opposte rispetto alla retta data. Ci proponiamo di trovare un punto $R$ su $l$ tale che il valore assoluto della differenza $PR-QR$ sia massimo. Si dimostra (facilmente) che il punto desiderato è il punto di intersezione tra la retta $l$ con la retta passante per $Q$ e $P'$, (o tra $P$ e $Q'$) dove $P'$ (e similmente $Q'$) indica il simmetrico di $P$ (o di $Q$) rispetto alla retta $l$. Questo punto $R$ è tale che gli angoli formati da $l$ con $QR$ e $PR$ siano congruenti; dunque $l$ biseca l'angolo $/_QRP$.
Ora se indichiamo con $2a$ il massimo valore della differenza $|PR-QR|$ si può considerare il luogo dei punti del piano per cui $|PR-QR|=2a$. Come noto questo luogo è un'iperbole avente per fuochi $P$ e $Q$ e passante per il punto $R$. Per il ragionamento fatto primo la retta $l$ (che è tangente all'iperbole in $R$ e non può essere altrimenti perchè nel qual caso si troverebbe un altro punto per cui la differenza $|PR-QR|$ sia maggiore del valore trovato prima, il che è assurdo) biseca l'angolo $/_QRP$.
Analogamente si può dimostrare che una tangente a un'ellisse forma angoli uguali con le rette che congiungono i fuochi al punto di tangenza (basta in questo caso considerare il problema di trovare il minimo cammino per andare da due punti $P$ e $Q$ passando per una retta $l$ e poi ragionare in maniera analoga; https://www.matematicamente.it/matura/2006PNIque3.jpg)
"giuseppe87x":
Si dimostra (facilmente) che il punto desiderato è il punto di intersezione tra la retta $l$ con la retta passante per $Q$ e $P'$, (o tra $P$ e $Q'$) dove $P'$ (e similmente $Q'$) indica il simmetrico di $P$ (o di $Q$) rispetto alla retta $l$.
Non lo trovo così semplice..
mi indirizzeresti ?
Dunque, mi accorgo solo ora della tua domanda.
La questione è semplice; il problema è il seguente: data una retta $l$ e due punti $P$ e $Q$ da parti opposte rispetto a $l$, trovare un punto $R$ su $l$ in modo che la quantità $|p-q|$ cioè il valore assoluto della differenza delle distanze di $P$ e $Q$ da $l$ sia massimo.
Consideriamo il simmetrico $P'$ di $P$ rispetto a $l$ e un punto qualsiasi $R'inl$; allora si ha $p=R'P=R'P'$, $q=R'Q$ i.e. $|p-q|=|R'P'-R'Q|$; tale quantità non supera mai $P'Q$ (considera infatti il triangolo $P'QR'$).
Il valore massimo di $|p-q|$ è dunque $P'Q$ che si ottiene quando il segmento $RQ$ passa per $Q'$ cvd.
E' poi facile vedere dalla congruenza dei triangoli $RPR'$ e $RP'R'$ che gli angoli formati da $PR$ e $QR$ con $l$ sono uguali e da qui segue quanto detto nel precedente post in merito alle proprietà tangenziali dell'iperbole.
La questione è semplice; il problema è il seguente: data una retta $l$ e due punti $P$ e $Q$ da parti opposte rispetto a $l$, trovare un punto $R$ su $l$ in modo che la quantità $|p-q|$ cioè il valore assoluto della differenza delle distanze di $P$ e $Q$ da $l$ sia massimo.
Consideriamo il simmetrico $P'$ di $P$ rispetto a $l$ e un punto qualsiasi $R'inl$; allora si ha $p=R'P=R'P'$, $q=R'Q$ i.e. $|p-q|=|R'P'-R'Q|$; tale quantità non supera mai $P'Q$ (considera infatti il triangolo $P'QR'$).
Il valore massimo di $|p-q|$ è dunque $P'Q$ che si ottiene quando il segmento $RQ$ passa per $Q'$ cvd.
E' poi facile vedere dalla congruenza dei triangoli $RPR'$ e $RP'R'$ che gli angoli formati da $PR$ e $QR$ con $l$ sono uguali e da qui segue quanto detto nel precedente post in merito alle proprietà tangenziali dell'iperbole.
Sei stato chiarissimo grazie molte ! 
Di niente! 
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