Proprietà formula di eulero

[CaMpIoN]

So' che:
\(\displaystyle 1=\sqrt[n]{1}=\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi k}{n}\right)=\mathit{e}^{i\frac{2\pi k}{n}} \)
Quindi in genere
\(\displaystyle 1=\mathit{e}^{i\frac{2\pi k}{n}}\)
Ma allora
\(\displaystyle \mathit{e}^{i \frac{\pi}{2}}=1 \)
Nonostante però si ha anche
\(\displaystyle \mathit{e}^{i \frac{\pi}{2}}=i\)
Per assurdo
\(\displaystyle \sqrt{-1}=1 \)
Cosa c'è che non va?

[giammaria2]

In campo complesso non puoi dire $1=root(n)1$; ci sono infatti $n$ radici ennesime, ed $1$ è solo una di esse. La formula $e^((2kpi)/n$ ti dà invece tutte le radici; in sostanza, stai affermando che tutte le radici ennesime sono uguali ad una sola di esse.

[CaMpIoN]

Capito questo concetto, grazie per l'aiuto.
Riguardo all'uguaglianza che si ottiene (l'ultima che ho scritto), si può dire che nel campo complesso non vale la proprietà transitiva? o almeno non quando si parla di radici ennesime di un numero complesso. Non riesco ad interpretarlo in nessun'altro modo che questo altrimenti.

[giammaria2]

Non è che non valga la proprietà transitiva; è che in campo complesso il simbolo di radice non indica un solo numero mentre in campo reale lo fa. E' come se tu dicessi che $+3=-3$ perché entrambi danno $9$ quando vengono elevati al quadrato e quindi entrambi sono radici quadrate di $9$.

[CaMpIoN]

Ahh ora è tutto chiaro, grazie mille giammaria e buona serata