Proprietà deducibili da un'espressione algebrica
Parto da questo quesito per porvi anche una domanda un po' più ampia:
Se $n$ è un qualunque numero intero positivo,allora si può affermare che l'espressione $n^3+2n^2+n+1$ è :
1) Sempre pari
2) Sempre divisibile per 3
3) Dispari solo se $n$ è dispari
4) Sempre dispari
5) Sempre divisibile per 5
Ora, premesso che non so davvero come cominciare per risolvere questo quesito volevo sapere, se possibile quali proprietà sono deducibili vedendo la forma di un'espressione algebrica.
Se $n$ è un qualunque numero intero positivo,allora si può affermare che l'espressione $n^3+2n^2+n+1$ è :
1) Sempre pari
2) Sempre divisibile per 3
3) Dispari solo se $n$ è dispari
4) Sempre dispari
5) Sempre divisibile per 5
Ora, premesso che non so davvero come cominciare per risolvere questo quesito volevo sapere, se possibile quali proprietà sono deducibili vedendo la forma di un'espressione algebrica.
Risposte
L'espressione ( che indico con E) la puoi scrivere anche così:
$E=n(n^2+2n+1)+1=n(n+1)^2+1$
Ora i numeri $n$ ed $n+1$, essendo interi consecutivi, sono sicuramente uno dei due pari e l'altro dispari e di conseguenza il prodotto $n(n+1)^2$ è certamente pari perché contiene un fattore pari. Ne segue che aggiungendo 1 ne risulta per E un valore dispari, quale che sia n .
La risposta giusta è quindi la (4). Quanto al resto della tue domanda non credo ci siano regole generali per risolvere tali tipi di questioni: a meno di casi particolari, tutto dipende fortemente dalla forma di E. Insomma ci devi lavorare un po' sopra, caso per caso...
$E=n(n^2+2n+1)+1=n(n+1)^2+1$
Ora i numeri $n$ ed $n+1$, essendo interi consecutivi, sono sicuramente uno dei due pari e l'altro dispari e di conseguenza il prodotto $n(n+1)^2$ è certamente pari perché contiene un fattore pari. Ne segue che aggiungendo 1 ne risulta per E un valore dispari, quale che sia n .
La risposta giusta è quindi la (4). Quanto al resto della tue domanda non credo ci siano regole generali per risolvere tali tipi di questioni: a meno di casi particolari, tutto dipende fortemente dalla forma di E. Insomma ci devi lavorare un po' sopra, caso per caso...
Ti ringrazio! 
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