Prooblema sulle funzioni

[indovina]

siano r e s due rette parallele e O un punto della strisca di piano compresa tra r e s.
sia f:r----->s la funzione che associaa a ogni P apprtenente ad r il punto P' appartenente ad s che risulta allineato con O e con P.
Si dimostri che f è biunivoca.

[minimo]

In termini algebrici devi far vedere che è iniettiva e suriettiva.

1)   è iniettiva
perché se considero due punti distinti

[math]P[/math]

e

[math]Q[/math]

diversi tra loro presi sulla retta r allora al punto

[math]P[/math]

corrisponde il punto

[math]f(P)[/math]

(dato dall'intersezione della retta

[math]OP[/math]

con la retta s); mentre al punto

[math]Q[/math]

corrisponde il punto

[math]f(Q)[/math]

(dato dall'intersezione della retta

[math]OQ[/math]

con la retta s).
Se per assurdo risultasse

[math]f(P)=f(Q)[/math]

allora le contro immagini di questi due punti cioè

[math]f^{-1}(f(P))[/math]

e

[math]f^{-1}(f(Q))[/math]

risulterebbero parimenti uguali in quanto date dall'intersezione della retta r con la retta per

[math]Of(P)=Of(Q)[/math]

2)   è suriettiva
Infatti il punto

[math]O[/math]

non appartiene alla retta s quindi comunque scelgo un punto

[math]W[/math]

su s la retta per

[math]OW[/math]

non sarà mai parallela ad r. Però essendo r e

[math]OW[/math]

complanari necessariamente dovranno intersecarsi in un punto

[math]P[/math]

. Onde ogni elemento del codominio ovvero della retta s ha una controimmagine.

[indovina]

ok grazie capito tutto ciao

[minimo]

ok allora chiudo.

In casi del genere fai un disegno e si capisce il perché. Poi devi solo trovare le parole per riempire lo schema logico della soluzione.
Cioè nella fattispecie per provare la biettività occorre provare che è valida l'iniettività e la suriettività (lo schema logico). Per farmi un'idea mi faccio un disegno e vedo subito che non può che essere biunivoca. Adesso provo a formalizzare il discorso et voilà ecco la soluzione.

(non sò se mi sono spiegato) :D