Progressioni aritmetiche
Chi mi può cortesemente aiutare a risolvere queste progressioni aritmetiche?
Io nn ci riesco perchè ci sono due incognite
1) In una progressione aritmetica si ha d=5 n=20 S20=950. Calcola a1
2) Di una progressione aritmetica conosciamo a30= 40 S30= 765. Determina a1 e d
3) Di una progressione artimetica conosciamo a1= 21 a15=49 Determina d e S15
Aiutatemi, vi prego.
Grazie mille
Io nn ci riesco perchè ci sono due incognite
1) In una progressione aritmetica si ha d=5 n=20 S20=950. Calcola a1
2) Di una progressione aritmetica conosciamo a30= 40 S30= 765. Determina a1 e d
3) Di una progressione artimetica conosciamo a1= 21 a15=49 Determina d e S15
Aiutatemi, vi prego.
Grazie mille
Risposte
Inizia a scrivere le formulette che conosci riguardo le progressioni aritmetiche, o i tuoi ragionamenti.
Le formule sono due-tre, vedrai che qualcosa ti verrà in mente scrivendo.
Le formule sono due-tre, vedrai che qualcosa ti verrà in mente scrivendo.
come posso scrivere qui le formule?
Queste sono tutte le formule relative alla progressione aritmetica:
$S_n$ = $(a_1+a_n . n)/2$
$a_n$ = $a_1+(n - 1)d$
Il primo esercizio dovrebbe essere così
$950$ = $(a_1+a_n . 20)/2$ Ma ho due incognite. Come faccio a risolverla? Con i sistemi forse, ma nn sono in grado di farli
$S_n$ = $(a_1+a_n . n)/2$
$a_n$ = $a_1+(n - 1)d$
Il primo esercizio dovrebbe essere così
$950$ = $(a_1+a_n . 20)/2$ Ma ho due incognite. Come faccio a risolverla? Con i sistemi forse, ma nn sono in grado di farli
nel primo esercizio puoi calcolare $a_20$ e poi sostituirlo nella formuletta $950$ = $((a_1+a_20 ). 20)/2$
$a_20 = a_1+19d=a_1+19*5=a_1+95$
$a_20 = a_1+19d=a_1+19*5=a_1+95$
Do una sistemata alla prima formula, all'inizio si commettono facilmente errori 
$S_n=(a_1+a_n)*n/2$
In effetti un sistema sarebbe l'ideale: infatti dalla seconda formula, ricavi
$a_n=a_1+(n-1)d$
$a_n=a_1+(20-1)*5$
e potresti mettere a sistema con quella da te trovata.
Usa quest'altra formula, altrimenti
$S_n=n*a_1+d*((n-1)*n)/2$
In questo modo l'unica incognita è $a_1$
Se ti serve la dimostrazione, te la posso scrivere, anche se in serata perché ora ho da fare.
$S_n=(a_1+a_n)*n/2$
In effetti un sistema sarebbe l'ideale: infatti dalla seconda formula, ricavi
$a_n=a_1+(n-1)d$
$a_n=a_1+(20-1)*5$
e potresti mettere a sistema con quella da te trovata.
Usa quest'altra formula, altrimenti
$S_n=n*a_1+d*((n-1)*n)/2$
In questo modo l'unica incognita è $a_1$
Se ti serve la dimostrazione, te la posso scrivere, anche se in serata perché ora ho da fare.
Ci provo
Una Progressione Aritmetica (P.A.) è una Successione di termini;
$a_1,\ a_2,\ a_3,\...\,a_n$
in cui, a partire dal primo termine, si ottiene il secondo aggiungendo un numero, detto Ragione, il terzo aggiungendo al secondo lo stesso numero e così via, di modo che è:
$a_2 = a_1 + q$
$a_3 = a_2 + q$
$.$
$.$
$a_n = a_(n-1) + q$
Sostituendo, via via, nei termini si ha:
$a_3=a_2+q=(a_1+q)+q$
$a_4=a_3+q=(a_2+q)+q=((a_1+q)+q)+q=a_1 + (n-1)*q$
ne deriva che, a partire dal primo termine è possibile ottenere il termine generico k-esimo imponendo:
$a_k = a_1 + (k-1)*q$
Così, se $a_1 = 1$, la Ragione 3 e si vuole conoscere il 10 termine si ha:
$a_10 = 1 + (10-1) * 3 = 28$
La Somma di una P.A. si ottiene, allo stesso modo, considerando che:
$S = a_1 + a_2 + .. + a_(n-1)+ a_n$
ovvero: $a_1+(a_1+q)+((a_1+q)+q)+((a_1+q)+q)+q)+..+(a_1+(n-1)*q)$, cioè:
$na_1 + q(1+2+...+(n-1))$
Adesso si tratta di vedere quanto è la Somma di $S_(n-1) = 1+2+3..+(n-1)$
Nel 1628, all'età di 5 anni, Blaise Pascal frequentava la scuola di Port Royal presso un convento di gianseniti. Un giorno, il maestro Montaigne, dovendosi recare a Parigi per una commissione per conto dell'Abate, dette ai ragazzini il compito di sommare i primi numeri interi da 1 a 1000. Montaigne "sapeva" che per farlo, lui stesso impiegava non meno di 4 ore, perciò quel compito avrebbe impegnato i ragazzini per ben oltre 4 ore. Aveva indossato il pastrano e stava per uscire infilandosi il cappello quando Blaise disse: "La somma è 500.500.". Montaigne, sapendo del papà di Blaise, contabile presso la corte, accusò il bambino di aver dato la somma perché la conosceva a memoria. Blaise, piangendo, chiese di poter scrivere alla lavagna la soluzione. Devi sapere che nel 1600 si era in possesso di una lettera di Archimede, inviata al suo amico Gerone (nel 220 circa a.c.), tiranno di Siracusa, in cui gli comunicava di aver trovato la soluzione al problema della somma degli interi e che gli avrebbe comunicato in una successiva lettera (mai ritrovata, nè certo che l'avesse mai spedita); Montaigne, quindi, invitò il ragazzino alla lavagna e con grande stupore Blaise scrisse:
$S = 1+2+3+..+998+999+1000$
e disse: "Ma anche..."
$S = 1000+999+998+..+3+2+1$
"è uguale ad S...; se sommo termine a termine...."
$S+S=(1+1000)+(2+999)+(3+998)+..+(998+3)+(999+2)+(1000+1)$
ottengo: $2S=1001+1001+1001+..+1001+1001+1001$
"..ora i termini 1001 sono esattamente 1000, perciò $1000*1001=(1.001.000)$
"...e siccome la somma è doppia, il risultato è:
$S= (1.001.000)/2 = 500.500$
Adesso che sappiamo come sommare quel termine tra parentesi, possiamo scrivere che la somma di una P.A. è
$S = (na_1 + (n(a_1+a_(n-1))))/2
Per provare che la "soluzione di Blaise Pascal" è un caso particolare di questa appena trovata, sia $a_1 = 1,\ q = 1\ "e"\ n=1000$, si ha:
$S=(1000*1+(1000*(1+999)))/2 = (1000+1000000)/2 = 500500$
Le risposte sono:
1) $a_1\ =\ 0$
2) $a_1\ =\ 11,\ q\ =\ 1$
3) $q\ =\ 2,\ S\ =\ 525$
$a_1,\ a_2,\ a_3,\...\,a_n$
in cui, a partire dal primo termine, si ottiene il secondo aggiungendo un numero, detto Ragione, il terzo aggiungendo al secondo lo stesso numero e così via, di modo che è:
$a_2 = a_1 + q$
$a_3 = a_2 + q$
$.$
$.$
$a_n = a_(n-1) + q$
Sostituendo, via via, nei termini si ha:
$a_3=a_2+q=(a_1+q)+q$
$a_4=a_3+q=(a_2+q)+q=((a_1+q)+q)+q=a_1 + (n-1)*q$
ne deriva che, a partire dal primo termine è possibile ottenere il termine generico k-esimo imponendo:
$a_k = a_1 + (k-1)*q$
Così, se $a_1 = 1$, la Ragione 3 e si vuole conoscere il 10 termine si ha:
$a_10 = 1 + (10-1) * 3 = 28$
La Somma di una P.A. si ottiene, allo stesso modo, considerando che:
$S = a_1 + a_2 + .. + a_(n-1)+ a_n$
ovvero: $a_1+(a_1+q)+((a_1+q)+q)+((a_1+q)+q)+q)+..+(a_1+(n-1)*q)$, cioè:
$na_1 + q(1+2+...+(n-1))$
Adesso si tratta di vedere quanto è la Somma di $S_(n-1) = 1+2+3..+(n-1)$
Nel 1628, all'età di 5 anni, Blaise Pascal frequentava la scuola di Port Royal presso un convento di gianseniti. Un giorno, il maestro Montaigne, dovendosi recare a Parigi per una commissione per conto dell'Abate, dette ai ragazzini il compito di sommare i primi numeri interi da 1 a 1000. Montaigne "sapeva" che per farlo, lui stesso impiegava non meno di 4 ore, perciò quel compito avrebbe impegnato i ragazzini per ben oltre 4 ore. Aveva indossato il pastrano e stava per uscire infilandosi il cappello quando Blaise disse: "La somma è 500.500.". Montaigne, sapendo del papà di Blaise, contabile presso la corte, accusò il bambino di aver dato la somma perché la conosceva a memoria. Blaise, piangendo, chiese di poter scrivere alla lavagna la soluzione. Devi sapere che nel 1600 si era in possesso di una lettera di Archimede, inviata al suo amico Gerone (nel 220 circa a.c.), tiranno di Siracusa, in cui gli comunicava di aver trovato la soluzione al problema della somma degli interi e che gli avrebbe comunicato in una successiva lettera (mai ritrovata, nè certo che l'avesse mai spedita); Montaigne, quindi, invitò il ragazzino alla lavagna e con grande stupore Blaise scrisse:
$S = 1+2+3+..+998+999+1000$
e disse: "Ma anche..."
$S = 1000+999+998+..+3+2+1$
"è uguale ad S...; se sommo termine a termine...."
$S+S=(1+1000)+(2+999)+(3+998)+..+(998+3)+(999+2)+(1000+1)$
ottengo: $2S=1001+1001+1001+..+1001+1001+1001$
"..ora i termini 1001 sono esattamente 1000, perciò $1000*1001=(1.001.000)$
"...e siccome la somma è doppia, il risultato è:
$S= (1.001.000)/2 = 500.500$
Adesso che sappiamo come sommare quel termine tra parentesi, possiamo scrivere che la somma di una P.A. è
$S = (na_1 + (n(a_1+a_(n-1))))/2
Per provare che la "soluzione di Blaise Pascal" è un caso particolare di questa appena trovata, sia $a_1 = 1,\ q = 1\ "e"\ n=1000$, si ha:
$S=(1000*1+(1000*(1+999)))/2 = (1000+1000000)/2 = 500500$
Le risposte sono:
1) $a_1\ =\ 0$
2) $a_1\ =\ 11,\ q\ =\ 1$
3) $q\ =\ 2,\ S\ =\ 525$
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