Progressioni aritmetiche
stavo facendo un esercizio ieri carino, che mi diceva di dimostrare che se una progressione aritmetica contiene almeno un quadrato perfetto, allora ne contiene infiniti.
Però ho riflettuto che ogni progressione aritmetica contiene almeno un quadrato perfetto in quanto, essendo i quadrati perfetti definiti come n^2, presa una qualsiasi progressione aritmetica, la sua ragione sarà sempre un numero che sommato N volte darà il quadrato alla fine...
l'ho scritto malissimo, spero si capisca il ragionamento
magari ora ci penso e provo dopo a scriverlo un pò meglio...
Però ho riflettuto che ogni progressione aritmetica contiene almeno un quadrato perfetto in quanto, essendo i quadrati perfetti definiti come n^2, presa una qualsiasi progressione aritmetica, la sua ragione sarà sempre un numero che sommato N volte darà il quadrato alla fine...
l'ho scritto malissimo, spero si capisca il ragionamento
magari ora ci penso e provo dopo a scriverlo un pò meglio...
Risposte
forse dico fesserie, ma credo dipenda da dove parti...
La progressione aritmetica $(2+10n)_{n \in \mathbb{N}}$ non contiene quadrati perfetti 
Certamente, non è vero che tutte le progressioni aritmetiche contengono quadrati.
Il tuo esercizio si può risolvere in questo modo. Se abbiamo che, per qualche $a,n,b,m \in NN$, $an+b=m^2$, allora per ottenere infiniti quadrati perfetti è sufficiente moltiplicare ripetutamente il tutto per $an_0+1$, dove $an_0+1=q^2$, cioè $q-1=a$ e $n_0=q+1$. Cioè si ottiene $(an_0+1)(an+b)=q^2m^2 \implies a(n_0n+bn_0+n)+b=q^2m^2$.
Il tuo esercizio si può risolvere in questo modo. Se abbiamo che, per qualche $a,n,b,m \in NN$, $an+b=m^2$, allora per ottenere infiniti quadrati perfetti è sufficiente moltiplicare ripetutamente il tutto per $an_0+1$, dove $an_0+1=q^2$, cioè $q-1=a$ e $n_0=q+1$. Cioè si ottiene $(an_0+1)(an+b)=q^2m^2 \implies a(n_0n+bn_0+n)+b=q^2m^2$.
"TomSawyer":
Certamente, non è vero che tutte le progressioni aritmetiche contengono quadrati.
Il tuo esercizio si può risolvere in questo modo. Se abbiamo che, per qualche $a,n,b,m \in NN$, $an+b=m^2$, allora per ottenere infiniti quadrati perfetti è sufficiente moltiplicare ripetutamente il tutto per $an_0+1$, dove C, cioè $q-1=a$ e $n_0=q+1$. Cioè si ottiene $(an_0+1)(an+b)=q^2m^2 \implies a(n_0n+bn_0+n)+b=q^2m^2$.
quel cioè non mi torna, non mi pare che è la stessa cosa dell'equazione precedente... potresti spiegarmi quel breve passaggio, è una cosa stupida, ma non mi quadra troppo...?
nel senso te hai fatto $q^2-1=an_0->(q+1)(q-1)=an_0$ e poi come fai ad arrivare all'altro passaggio?
grazie infinite!
Io pongo $q-1:=a$ e $n_0:=a+2$, il resto vien da sé. Basta tener fissa $a$, per ottenere un quadrato perfetto della forma $an+1$. Puoi scriverla anche così $a(a+2)+1=(a+1)^2$.
E, dato che se moltiplichi un termine della generica progressione aritmetica $an+b$ per $an_0+1$ (dove $n_0$ è un qualsiasi intero positivo), il prodotto rimane della forma $an+b$, allora puoi moltiplicare ripetutamente il termine della progressione che è un quadrato per ottenerne infiniti.
E, dato che se moltiplichi un termine della generica progressione aritmetica $an+b$ per $an_0+1$ (dove $n_0$ è un qualsiasi intero positivo), il prodotto rimane della forma $an+b$, allora puoi moltiplicare ripetutamente il termine della progressione che è un quadrato per ottenerne infiniti.
"TomSawyer":
Io pongo $q-1:=a$ e $n_0:=a+2$, il resto vien da sé. Basta tener fissa $a$, per ottenere un quadrato perfetto della forma $an+1$. Puoi scriverla anche così $a(a+2)+1=(a+1)^2$.
E, dato che se moltiplichi un termine della generica progressione aritmetica $an+b$ per $an_0+1$ (dove $n_0$ è un qualsiasi intero positivo), il prodotto rimane della forma $an+b$, allora puoi moltiplicare ripetutamente il termine della progressione che è un quadrato per ottenerne infiniti.
una cosa non mi torna, te poni $q-1=a$ su che basi? perchè ti torna comodo per la dimostrazione o c'è qualche altro motivo?
grazie per la risposta...
ciaooo
Perché mi torna comodo per la dimostrazione, chiaro . Io ho semplicemente bisogno di un quadrato perfetto della forma $an_0+1=q^2$, con $a$ la ragione della progressione aritmetica che contiene almeno un quadrato. Per far ciò, ho bisogno che $n_0$ sia semplicemente $n_0=a+2$, perché dopo si ha $a(a+2)+1=(a+1)^2$.
Ora, prendi questo quadrato perfetto ($a(a+2)+1$), lo moltiplichi per il quadrato perfetto che per ipotesi esiste nella generica progressione $an+b$, e ottieni $(a(a+2)+1)(an+b)=a(an(a+2)+b(a+2)+n)+b$. Come vedi, ora è di nuovo della forma $am+b$, quindi fa parte della nostra progressione aritmetica. Più chiaro di così non riesco ad essere.
. Io ho semplicemente bisogno di un quadrato perfetto della forma $an_0+1=q^2$, con $a$ la ragione della progressione aritmetica che contiene almeno un quadrato. Per far ciò, ho bisogno che $n_0$ sia semplicemente $n_0=a+2$, perché dopo si ha $a(a+2)+1=(a+1)^2$. Ora, prendi questo quadrato perfetto ($a(a+2)+1$), lo moltiplichi per il quadrato perfetto che per ipotesi esiste nella generica progressione $an+b$, e ottieni $(a(a+2)+1)(an+b)=a(an(a+2)+b(a+2)+n)+b$. Come vedi, ora è di nuovo della forma $am+b$, quindi fa parte della nostra progressione aritmetica. Più chiaro di così non riesco ad essere
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"TomSawyer":
Perché mi torna comodo per la dimostrazione, chiaro
Ora, prendi questo quadrato perfetto ($a(a+2)+1$), lo moltiplichi per il quadrato perfetto che per ipotesi esiste nella generica progressione $an+b$, e ottieni $(a(a+2)+1)(an+b)=a(an(a+2)+b(a+2)+n)+b$. Come vedi, ora è di nuovo della forma $am+b$, quindi fa parte della nostra progressione aritmetica. Più chiaro di così non riesco ad essere
sisi ora ho capito, non mi era chiaro perchè avevi posto così l'equazione, ma ora è tutto chiaro
grazie ancora !! ciaooo
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