Progressione (geometrica?)

[CervelloFritto]

Ciao,
non riesco a risolvere questo esercizio sulle progressioni

Il primo giorno dell’anno ti viene regalata la somma di 1000 euro e ti viene promessa, per
ogni giorno successivo, una cifra pari al 90% di quella che ti è stata data il giorno precedente. Qual è il primo giorno in cui riceverai meno di 1 euro? Quanto hai rice-
vuto complessivamente dall’inizio quando ciò accade?

risultato 67
e circa 9991,40 euro

grazie infinite!

[danyper]

Ciao,
si tratta effettivamente di una progressione geometrica di cui bisogna determinare la RAGIONE,indicata in genere con "q" ovvero il rapporto costante tra ogni elemento e il suo precedente:

[math]\frac{a_n}{a_{n-1}}=q[/math]

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Ragioniamo sul nostro problema
giorno zero=1000€
primo giorno: incremento 90% di 1000= 0,9*1000=900
secondo giorno incremento di 0,9*900= 810
terzo giorno 0.9*810=729
calcoliamo i rapporti:

[math]\frac{a_1}{a_0}=\frac{900}{1000}=0,9[/math]

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[math]\frac{a_2}{a_1}=\frac{810}{900}=0,9[/math]

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[math]\frac{a_2}{a_1}=\frac{729}{810}=0,9[/math]

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quindi il rapporto tra gli incrementi è 0,9
ogni giorno i mille € sono incrementati del 90% dell'incremento precedente
ovvero

[math]a_n=0,9^na_0[/math]

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Ora che abbiamo la nostra progressione possiamo rispondere alla prima domanda:
Qual è il primo giorno in cui riceverai meno di 1 euro?

[math]1=0,9^n*1000[/math]

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risolvendo l'equazione esponenziale, otteniamo:

[math]n=\frac{-3}{log{0.9}}=66[/math]

considerando anche il giorno il giorno del deposito sono 67

Quanto hai ricevuto complessivamente dall'inizio da quando ciò accade?
Ora dobbiamo sommare i primi 67 termini della progressione con la formula seguente:

[math]s_n=\frac{1-q^n}{1-q}[/math]

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[math]s_{67}=\frac{1-0,9^{67}}{1-0,9}=9991,40€[/math]

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Spero che sia tutto chiaro !!
Fammi sapere