Problesa max e min in geometria piana
Sal ve a tutti! Volevo chiedervi la soluzione di un problema che nn riesco a risolvere. Il testo è questo:
Fra tutti i trapezi isosceli circoscritti a un medesimo cerchio, qual'è quello di area minima?
Soluzione:
Ho provato ragionando sul fatto che la somma dei lati obliqui è uguale a quella delle basi ma nn sono riuscitoa impostare il problema.
Grazie a tutti perr il vostro aiuto
Fra tutti i trapezi isosceli circoscritti a un medesimo cerchio, qual'è quello di area minima?
Soluzione:
Ho provato ragionando sul fatto che la somma dei lati obliqui è uguale a quella delle basi ma nn sono riuscitoa impostare il problema.
Grazie a tutti perr il vostro aiuto
Risposte
Probabilmente unendo i vari vertici del trapezio al centro del cerchio ottieni vari triangoli... X quale angoli è minimo il valore della loro area (quindi sommando le aree dei triangoli) ?
Per 4 angoli retti....
Per 4 angoli retti....
"IlaCrazy":
Probabilmente unendo i vari vertici del trapezio al centro del cerchio ottieni vari triangoli... X quale angoli è minimo il valore della loro area (quindi sommando le aree dei triangoli) ?
Per 4 angoli retti....
vabbe' ma questa non e' una dimostrazione...
Dette B ,b ed L rispettivamente la base maggiore ,quella minore ed il lato obliquo
del generico trapezio isoscele circoscritto,per l'area S del trapezio medesimo si ha la formula:
$S=r(B+b)$ dove r e' il raggio della circonferenza circoscritta.
Ora $B+b=2*L$ e dunque :
$S=2r*L$
Ma evidentemente e' $L>=2r$ (fare la figura) e quindi risulta pure :
$S>=4r^2$
Il valore minimo di S e' pertanto $4r^2$ ,raggiunto quando si ha L=2r.
E cio' equivale a dire che il trapezio cercato e' il quadrato circoscritto alla circonferenza.
karl
del generico trapezio isoscele circoscritto,per l'area S del trapezio medesimo si ha la formula:
$S=r(B+b)$ dove r e' il raggio della circonferenza circoscritta.
Ora $B+b=2*L$ e dunque :
$S=2r*L$
Ma evidentemente e' $L>=2r$ (fare la figura) e quindi risulta pure :
$S>=4r^2$
Il valore minimo di S e' pertanto $4r^2$ ,raggiunto quando si ha L=2r.
E cio' equivale a dire che il trapezio cercato e' il quadrato circoscritto alla circonferenza.
karl
Perfetto grazie avevo dato un valore errato alla x. Ancora grazie per il vostro aiuto.
"codino75":
[quote="IlaCrazy"]Probabilmente unendo i vari vertici del trapezio al centro del cerchio ottieni vari triangoli... X quale angoli è minimo il valore della loro area (quindi sommando le aree dei triangoli) ?
Per 4 angoli retti....
vabbe' ma questa non e' una dimostrazione...[/quote]
Lo so,ma pensavo ke intuendo il comportamento del generico trapezio (quindi un luogo di punti che varia sulla circonferenza) fosse facile giungere alla soluzione postata da Karl.....
"IlaCrazy":
[quote="codino75"][quote="IlaCrazy"]Probabilmente unendo i vari vertici del trapezio al centro del cerchio ottieni vari triangoli... X quale angoli è minimo il valore della loro area (quindi sommando le aree dei triangoli) ?
Per 4 angoli retti....
vabbe' ma questa non e' una dimostrazione...[/quote]
Lo so,ma pensavo ke intuendo il comportamento del generico trapezio (quindi un luogo di punti che varia sulla circonferenza) fosse facile giungere alla soluzione postata da Karl.....
[/quote]forse e' il mio intuito che e' limitato.
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