Problemone tosto...
finita la grande cena di natale, mi "rilasso" postando un problema che ho fatto questo pomeriggio, ma nn riesco a venirne a capo di un punto.
"in un piano di riferimento a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è assegnata la parabola di equazione $y=-x^2+2x+3$.
sia P(x,y) un punto dell'arco $gamma$, appartenente al primo quadrante, di detta parabola e H la proiezione di P sull'asse delle ascisse.
Si consideri il triangolo APB, aventi i lati AP e PB uguali, il segmento PH come altezza relativa al lato AB, e tale che la somma delle lunghezze di AB e di PH sia 4.
il candidato
a. dica quali posizioni deve occupare P sull'arco considerato affinchè il triangolo APB esista
b. limitatamente alle suddette posizioni di P, esprima l'area S del triangolo APB in funzione dell'ascissa P e studi come essa varia al variare di P.
c. avvalendosi di un metodo numerico, determini, con l'approssimazione di 1/10, l'ascissa $x_0$ del punto P di $gamma$, compreso tra l'asse delle ordinate e l'asse della parabola, tale che il triangolo APB sia equivalente alla metà del triangolo VV'H, essendo V il vertice della parabola e V' la proiezione di V sull'asse x.
a. prima di tutto il vertice ha equazione V(1,4) e taglia l'asse y in 3 e l'asse x in -1 e 3.
allora le cordinate del punto P posso scriverle come P(x,f(x))
quindi PH=f(x) in quanto è la distanza tra due punti aventi la setssa ascissa, mentre AB la chiamo h(come condizone su h, essa deve essere strettamente maggiore di zero, in quanto deve esistere)
quindi imposto il sistema
${(-x^2+2x+3+h=4),(h>0):}
risolvendo ottengo
${(x!=1),(h>0):}
quindi la risposta al punto "a." è semplicemente che l'ascissa del punto P ha queste CE: (0,1)(1,3)
b. qui ho qualche dubbio, però l'ho risolto così:
chiamata $Deltax$ l'ascissa del punto P scivo:
$AB=4-PH
$PH=Deltax*tgbeta$ dove $beta$ è l'angolo che si forma congiungendo l'origine degli assi col punto p, quindi PH e OH=$Delta$x sono i due cateti e dalla trigonometria otengo quello...
sostituendo nella prima equazione posso dire che $AB=4-Deltax*tgbeta$
quindi l'area $S=(AB*PH)/2=((4-Deltax*tgbeta)(Deltax*tgbeta))/2
quando $betato0$, $Sto0$ e questo è immediato
quando $betato(pi/2-beta)$, chiamato $alpha$ l'angolo del triangolo alla base, esso $alphararrpi/2$
(se si costruisce la figura, scfruttando il teorema di talete si vede che l'angolo massimo che può raggingere $beta$ è $(pi/2-beta)$, quindi $beta=pi/2-alpha$
quindi sostituendo troviamo che $lim_(alphararrpi/2)((4-Deltax*tg(pi/2-alpha))(Deltax*tg(pi/2-alpha)))/2=
$lim_(alphararrpi/2)((4-Deltax*cotalpha)(Deltax*cotalpha))/2=0
ed esso rispetta i limiti esatti della figura.
ora il punto c.
ecco qui mi dice di trovare il triangolo VV'H, ma non ne esiste solo uno in quel tratto di curva, nn capisco come muovermi... un suggerimento
? anche perchè come metodo è sufficiente usare quello di bisezione, tranquillo facile e veloce ehehe
spero sia chiaro come ho svolto l'esercizio, ho qualche dubbio sul punto b. e vorrei una mano sul punto c. che son in difficoltà... grazie a tutti e... BUON NATALE, già che siamo
"in un piano di riferimento a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è assegnata la parabola di equazione $y=-x^2+2x+3$.
sia P(x,y) un punto dell'arco $gamma$, appartenente al primo quadrante, di detta parabola e H la proiezione di P sull'asse delle ascisse.
Si consideri il triangolo APB, aventi i lati AP e PB uguali, il segmento PH come altezza relativa al lato AB, e tale che la somma delle lunghezze di AB e di PH sia 4.
il candidato
a. dica quali posizioni deve occupare P sull'arco considerato affinchè il triangolo APB esista
b. limitatamente alle suddette posizioni di P, esprima l'area S del triangolo APB in funzione dell'ascissa P e studi come essa varia al variare di P.
c. avvalendosi di un metodo numerico, determini, con l'approssimazione di 1/10, l'ascissa $x_0$ del punto P di $gamma$, compreso tra l'asse delle ordinate e l'asse della parabola, tale che il triangolo APB sia equivalente alla metà del triangolo VV'H, essendo V il vertice della parabola e V' la proiezione di V sull'asse x.
a. prima di tutto il vertice ha equazione V(1,4) e taglia l'asse y in 3 e l'asse x in -1 e 3.
allora le cordinate del punto P posso scriverle come P(x,f(x))
quindi PH=f(x) in quanto è la distanza tra due punti aventi la setssa ascissa, mentre AB la chiamo h(come condizone su h, essa deve essere strettamente maggiore di zero, in quanto deve esistere)
quindi imposto il sistema
${(-x^2+2x+3+h=4),(h>0):}
risolvendo ottengo
${(x!=1),(h>0):}
quindi la risposta al punto "a." è semplicemente che l'ascissa del punto P ha queste CE: (0,1)(1,3)
b. qui ho qualche dubbio, però l'ho risolto così:
chiamata $Deltax$ l'ascissa del punto P scivo:
$AB=4-PH
$PH=Deltax*tgbeta$ dove $beta$ è l'angolo che si forma congiungendo l'origine degli assi col punto p, quindi PH e OH=$Delta$x sono i due cateti e dalla trigonometria otengo quello...
sostituendo nella prima equazione posso dire che $AB=4-Deltax*tgbeta$
quindi l'area $S=(AB*PH)/2=((4-Deltax*tgbeta)(Deltax*tgbeta))/2
quando $betato0$, $Sto0$ e questo è immediato
quando $betato(pi/2-beta)$, chiamato $alpha$ l'angolo del triangolo alla base, esso $alphararrpi/2$
(se si costruisce la figura, scfruttando il teorema di talete si vede che l'angolo massimo che può raggingere $beta$ è $(pi/2-beta)$, quindi $beta=pi/2-alpha$
quindi sostituendo troviamo che $lim_(alphararrpi/2)((4-Deltax*tg(pi/2-alpha))(Deltax*tg(pi/2-alpha)))/2=
$lim_(alphararrpi/2)((4-Deltax*cotalpha)(Deltax*cotalpha))/2=0
ed esso rispetta i limiti esatti della figura.
ora il punto c.
ecco qui mi dice di trovare il triangolo VV'H, ma non ne esiste solo uno in quel tratto di curva, nn capisco come muovermi... un suggerimento
? anche perchè come metodo è sufficiente usare quello di bisezione, tranquillo facile e veloce ehehespero sia chiaro come ho svolto l'esercizio, ho qualche dubbio sul punto b. e vorrei una mano sul punto c. che son in difficoltà... grazie a tutti e... BUON NATALE, già che siamo
Risposte
sono in disaccordo in quasi tutto quello che hai scritto 
a parte gli scherzi....
allora:
vertice V (1;4)
P(xP,yP)
intersez con asse x: (3;0)
intersez con asse y: (0,3)
1) secondo me il triangolo esiste sempre, tranne in due configurazioni in cui il triangolo diventa degenere, ovvero quando
P(3;0) oppure P(1;4)
2) chiamando sempre P(xP,yP),
ho che PH é pari a yP, ovvero
PH = -xP^2+2*xP+3
AB=4-PH
Area APB=(4-PH)*PH/2
(e non ho fatto tutto quel casino che hai fatto te!
)
3) se P deve stare nel ramo di curva tra asse y e asse di simmetria,
xP é compreso tra 0 e 1.
come non ne esiste solo 1? scelto P a caso, tu hai identificato un unico triangolo VV'H! (sarebbe moooooooolto strano se ce ne fosse piú di 1 ... vorrebbe solo dire che ci vedi doppio
)
é tutto in base alla coordinata xP.
VV'=4
V'H=1-xP
quindi, Area VV'H=4*(1-xP)/2
sviluppando l' area di APB scritta prima e uguagliandola con l' area di VV'H, ho
(4+xP^2-2*xP-3)(-xP^2+2*xP+3)/2 = 4*(1-xP)/2
che si risolve x via numerica, ovvero x tentativi (facile, xké xP sta in un intervallo molto ristretto).
FOSSERO TUTTI COSÍ I PROBLEMI!!!
a parte gli scherzi....
allora:
vertice V (1;4)
P(xP,yP)
intersez con asse x: (3;0)
intersez con asse y: (0,3)
1) secondo me il triangolo esiste sempre, tranne in due configurazioni in cui il triangolo diventa degenere, ovvero quando
P(3;0) oppure P(1;4)
2) chiamando sempre P(xP,yP),
ho che PH é pari a yP, ovvero
PH = -xP^2+2*xP+3
AB=4-PH
Area APB=(4-PH)*PH/2
(e non ho fatto tutto quel casino che hai fatto te!
)3) se P deve stare nel ramo di curva tra asse y e asse di simmetria,
xP é compreso tra 0 e 1.
come non ne esiste solo 1? scelto P a caso, tu hai identificato un unico triangolo VV'H! (sarebbe moooooooolto strano se ce ne fosse piú di 1 ... vorrebbe solo dire che ci vedi doppio
)é tutto in base alla coordinata xP.
VV'=4
V'H=1-xP
quindi, Area VV'H=4*(1-xP)/2
sviluppando l' area di APB scritta prima e uguagliandola con l' area di VV'H, ho
(4+xP^2-2*xP-3)(-xP^2+2*xP+3)/2 = 4*(1-xP)/2
che si risolve x via numerica, ovvero x tentativi (facile, xké xP sta in un intervallo molto ristretto).
FOSSERO TUTTI COSÍ I PROBLEMI!!!
Mi pare che la soluzione di DarkAngel non tenga conto che deve
essere PA=PB.
karl
essere PA=PB.
karl
"DarkAngel":
3) se P deve stare nel ramo di curva tra asse y e asse di simmetria,
xP é compreso tra 0 e 1.
come non ne esiste solo 1? scelto P a caso, tu hai identificato un unico triangolo VV'H! (sarebbe moooooooolto strano se ce ne fosse piú di 1 ... vorrebbe solo dire che ci vedi doppio
é tutto in base alla coordinata xP.
VV'=4
V'H=1-xP
quindi, Area VV'H=4*(1-xP)/2
sviluppando l' area di APB scritta prima e uguagliandola con l' area di VV'H, ho
(4+xP^2-2*xP-3)(-xP^2+2*xP+3)/2 = 4*(1-xP)/2
che si risolve x via numerica, ovvero x tentativi (facile, xké xP sta in un intervallo molto ristretto).
FOSSERO TUTTI COSÍ I PROBLEMI!!!
ora provo a vedere se i risultati tornano, per il secondo punto è semplice come l'hai fatto te, chissà perchè mi son andato a complicare la vita in quel modo assurdo..ma...
cmq grazie e buon nasale... ops natale
(4+xP^2-2*xP-3)(-xP^2+2*xP+3)/2 = 4*(1-xP)/2 *1/2 in quanto l'area del primo dev'essere la metà dell'area del secondo... o no grazie ancora.. ora provo a fare i calcoli,,
grazie ancora.. ora provo a fare i calcoli,,
mmm sviluppando i calcoli questa equazione non ha zeri nell'intervallo (0,1) e ciò è sbagliato...mmm c'è qualcosa che nn va....
"fu^2":
mmm sviluppando i calcoli questa equazione non ha zeri nell'intervallo (0,1) e ciò è sbagliato...mmm c'è qualcosa che nn va....
Sviluppando i calcoli si trova l'equazione:
$(1-x)(x^3-3x^2-x+1)=0$
Oltre alla soluzione x = 1 essa presenta, nell'intervallo (0,1), la soluzione x = 0,46...
mmm allora son io che non so calcolare... 0,46.. è giusto come risultato
cmq a me l'equazione viene $(x+1)(-x^3+3x^2+x-1)
eheh prima facevo l'equazione con un segno sbagliato nel testo, ecco perchè non mi tornava
eheh prima facevo l'equazione con un segno sbagliato nel testo, ecco perchè non mi tornava
fu^2, sono rimasto un attimo perplesso leggendo il tuo modo di svolgere il primo quesito.
Perchè non hai tenuto conto del fatto che:
$x>0$
$f(x)>0$
in quanto l'arco è quello del primo quadrante?
Io avrei risolto con un sistema misto.
$y=-x^2+2x+3$
$y+h=4$
$x>0$
$y>0$
Toglimi un po' questo dubbio, perchè credo che mi sto sbagliando dato che mi pare di capire che i conti ti tornano
Perchè non hai tenuto conto del fatto che:
$x>0$
$f(x)>0$
in quanto l'arco è quello del primo quadrante?
Io avrei risolto con un sistema misto.
$y=-x^2+2x+3$
$y+h=4$
$x>0$
$y>0$
Toglimi un po' questo dubbio, perchè credo che mi sto sbagliando dato che mi pare di capire che i conti ti tornano
$y=-x^2+2x+3$
$y+h=4$ $
$x>0$
$y>0$
è come dire $-x^2+2x+3+h=4$
ps nel tuo sistema manca anche $h>0$ (in quanto h=AB ed esso deve esistere, quindi deve essere >0
quello che ho fatto io è equivalente al tuo, solo che non ho considerato le y subito, ma le ho ricavate solo successivamente. quindi è la stessa cosa.
$y+h=4$ $
$x>0$
$y>0$
è come dire $-x^2+2x+3+h=4$
ps nel tuo sistema manca anche $h>0$ (in quanto h=AB ed esso deve esistere, quindi deve essere >0
quello che ho fatto io è equivalente al tuo, solo che non ho considerato le y subito, ma le ho ricavate solo successivamente. quindi è la stessa cosa.
"karl":
Mi pare che la soluzione di DarkAngel non tenga conto che deve
essere PA=PB.
karl
perché dici?
AB é la base , segmento orizzontale,
da P parton 2 segmenti uguali uno verso A uno verso B
e quindi il triangolo é isoscele.
io quando lo feci gg fa ne tenni conto.
"fu^2":
(4+xP^2-2*xP-3)(-xP^2+2*xP+3)/2 = 4*(1-xP)/2 *1/2 in quanto l'area del primo dev'essere la metà dell'area del secondo... o no
sí hai ragione, mi son dimenticato quel fattore 2 nell' uguaglianza delle aree. sorry!
"fu^2":
cmq a me l'equazione viene $(x+1)(-x^3+3x^2+x-1)
eheh prima facevo l'equazione con un segno sbagliato nel testo, ecco perchè non mi tornava
se posso darti un consiglio, non stare a fare dei calcoli x semplificare / compattare l' espressione,
parti subito assegnando A CASO dei valori a xP nell' espressione trovata in prima battuta, cosí risparmi tempo. hai la fortuna che ti dice di farlo x via numerica, con un' approssimazione a mio parere pure grossolana
anzi, se son compiti x casa, io addirittura farei un foglio di excel, ci metti 2 secondi.
"DarkAngel":
[quote="fu^2"]cmq a me l'equazione viene $(x+1)(-x^3+3x^2+x-1)
eheh prima facevo l'equazione con un segno sbagliato nel testo, ecco perchè non mi tornava
se posso darti un consiglio, non stare a fare dei calcoli x semplificare / compattare l' espressione,
parti subito assegnando A CASO dei valori a xP nell' espressione trovata in prima battuta, cosí risparmi tempo. hai la fortuna che ti dice di farlo x via numerica, con un' approssimazione a mio parere pure grossolana
anzi, se son compiti x casa, io addirittura farei un foglio di excel, ci metti 2 secondi.[/quote]l'ho risolto manualmente con il metodo di bisezione, 6min e l'ho risolto in modo corretto, grazie dell'aiuto
"fu^2":
$y=-x^2+2x+3$
$y+h=4$ $
$x>0$
$y>0$
è come dire $-x^2+2x+3+h=4$
ps nel tuo sistema manca anche $h>0$ (in quanto h=AB ed esso deve esistere, quindi deve essere >0
quello che ho fatto io è equivalente al tuo, solo che non ho considerato le y subito, ma le ho ricavate solo successivamente. quindi è la stessa cosa.
Si è vero, h>0 l'ho tralasciato, però tu ometti le limitazioni alle incognite x e y, anche se in questo caso magari non conta..
dopo aver risolto il sistema ho trovato x diverso da uno, dopo ho messo le limitazioni del primo quadrante solo successivamente, potevo anche farlo direttamente però...
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