Problemino di geometria piana
Mi dareste una mano con questo problema, un suggerimento? Sembra semplice ma mi sono perso.
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Sia H il piede dell'altezza relativa ad AB, K il piede dell'altezza relativa ad AC e M il punto medio di BC. Dimostra che i triangoli AHK, BHM, KMC e KHM sono isosceli.
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Sia H il piede dell'altezza relativa ad AB, K il piede dell'altezza relativa ad AC e M il punto medio di BC. Dimostra che i triangoli AHK, BHM, KMC e KHM sono isosceli.
Risposte
ciao Veggas!
dimostriamo prima BHM:
se H è il piede della altezza realtiva ad AB allora è anche il punto medio di AB
Quindi direi che ABC e BHM sono simili (direi per il secondo criterio, due lati in proporzione e n angolo in comune) allora BHM è isoscele e in particolare HM=AC/2
se adesso riesci a dimostrare che KM=MH hai praticamente finito...
dimostriamo prima BHM:
se H è il piede della altezza realtiva ad AB allora è anche il punto medio di AB
Quindi direi che ABC e BHM sono simili (direi per il secondo criterio, due lati in proporzione e n angolo in comune) allora BHM è isoscele e in particolare HM=AC/2
se adesso riesci a dimostrare che KM=MH hai praticamente finito...
Considera il triangolo CHB, è rettangolo con angolo retto in H. Essendo M il punto medio del lato CB si ha che CM=MB. Allora, per una proprietà dei triangoli rettangoli, il triangolo CHB è inscritto in una circonferenza di centro è M che passa per C, H e B. Dunque MC, MH e MB sono raggi di questa circonferenza, quindi sono uguali. Quindi il triangolo BHM è isoscele.
Lo stesso ragionamento va applicato al triangolo rettangolo KAB (avendo AH=HB e l'angolo retto in K), da cui risulta isoscele il triangolo AHK.
Lo stesso ragionamento poi con il triangolo rettangolo CKB (avendo CM=MB e angolo retto in K), da cui risultano isosceli sia KMC e KHM.
Lo stesso ragionamento va applicato al triangolo rettangolo KAB (avendo AH=HB e l'angolo retto in K), da cui risulta isoscele il triangolo AHK.
Lo stesso ragionamento poi con il triangolo rettangolo CKB (avendo CM=MB e angolo retto in K), da cui risultano isosceli sia KMC e KHM.
Si interessante.
Allora io con un po' di peripezie ho prima dimostrato che HM è parallelo ad AC da cui angoli alterni interni, bla bla bla...e arrivo a dire che BHM è isoscele perché ha gli angoli alla base congruenti.
Fin qui ok. Però dopo non posso usare le circonferenze (e nemmeno le similitudini) perché non le ho ancora fatte!
Allora io con un po' di peripezie ho prima dimostrato che HM è parallelo ad AC da cui angoli alterni interni, bla bla bla...e arrivo a dire che BHM è isoscele perché ha gli angoli alla base congruenti.
Fin qui ok. Però dopo non posso usare le circonferenze (e nemmeno le similitudini) perché non le ho ancora fatte!
"mazzarri":
ciao Veggas!
dimostriamo prima BHM:
se H è il piede della altezza realtiva ad AB allora è anche il punto medio di AB
Quindi direi che ABC e BHM sono simili (direi per il secondo criterio, due lati in proporzione e n angolo in comune) allora BHM è isoscele e in particolare HM=AC/2
se adesso riesci a dimostrare che KM=MH hai praticamente finito...
per BHM ci ero arrivato anch'io in maniera diversa e senza usare la similitudine, sfruttando il parallelismo.
Però dici poco dimostrare che KM=MH
Io ho usato il teorema che dice che la mediana KH in un triangolo rettangolo è metà dell'ipotenusa da cui...
Però non sono proprio sicuro che abbiamo fatto quel teorema. Non posso usare cose non fatte in classe.
Ma è possibile che in prima superiore ci sia un problema così incasinato? non è per caso che il testo ha un refuso e invece di triangolo isoscele volevano dire triangolo equilatero? perché non possono mettere un problema in cui si debba per forza usare cose ancora non fatte fino a quel momento!
"veggas":
Però dici poco dimostrare che KM=MH
Non è difficile.
Triangolo rettangolo BKC: KM unisce il vertice dell'angolo retto con il punto medio dell'ipotenusa, di conseguenza è la metà dell'ipotenusa BC.
Triangolo rettangolo BHC: HM unisce il vertice dell'angolo retto con il punto medio dell'ipotenusa, di conseguenza è la metà dell'ipotenusa BC.
Chiaro?
Se qualcosa non ti è chiaro o non avete studiato il teorema "in un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è uguale a metà ipotenusa" dillo, troveremo altre strade per dimostrare quello che ti serve.
"igiul":
[quote="veggas"]
Però dici poco dimostrare che KM=MH
Non è difficile.
Triangolo rettangolo BKC: KM unisce il vertice dell'angolo retto con il punto medio dell'ipotenusa, di conseguenza è la metà dell'ipotenusa BC.
Triangolo rettangolo BHC: HM unisce il vertice dell'angolo retto con il punto medio dell'ipotenusa, di conseguenza è la metà dell'ipotenusa BC.
Chiaro?
Se qualcosa non ti è chiaro o non avete studiato il teorema "in un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è uguale a metà ipotenusa" dillo, troveremo altre strade per dimostrare quello che ti serve.[/quote]
Se noti il mio messaggio precedente è proprio quello che ho usato io...solo che quel teorema non l'abbiamo fatto ci sono arrivato io per puro caso cercando sul libro. Oggi ho fatto vedere all'insegnante la mia dimostrazione e addirittura mi ha messo un bel 4 perché dice che ho usato cose che non abbiamo fatto e che me lo sono fatto fare! però mica ci ha spiegato come farlo e oggi alla richiesta di farcelo in classe ha risposto che non aveva tempo e che dovevamo arrivarci! mah!
Se ho capito bene hai bisogno di dimostrare che "la mediana all'ipotenusa di un triangolo rettangolo è metà ipotenusa".
Se è questo ti spiego come fare senza ricorrere alla circonferenza che ancora non avete studiato.
Teorema: Condotta dal punto medio di un lato di un triangolo la parallela ad uno degli altri lati, questa interseca il terzo nel suo punto medio.
Conosci questo teorema? (oppure sai che la congiungente i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo ed uguale ala sua metà? da questo si può ricavare il teorema enunciato prima.)
Se sì, la dimostrazione è questa:
Dal punto medio M dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC (retto per es. in A) manda la parallela ad un cateto (es. AB). Questa interseca AC nel suo punto medio N. I triangoli rettangoli AMN e CMN sono uguali perchè hanno i cateti rispettivamente uguali ( MN in comune e AN=NC perchè N è punto medio di AC). Di conseguenza AM=MC.
Ma MC=BM. Resta così dimostrato che AM è metà ipotenusa.
Se è questo ti spiego come fare senza ricorrere alla circonferenza che ancora non avete studiato.
Teorema: Condotta dal punto medio di un lato di un triangolo la parallela ad uno degli altri lati, questa interseca il terzo nel suo punto medio.
Conosci questo teorema? (oppure sai che la congiungente i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo ed uguale ala sua metà? da questo si può ricavare il teorema enunciato prima.)
Se sì, la dimostrazione è questa:
Dal punto medio M dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC (retto per es. in A) manda la parallela ad un cateto (es. AB). Questa interseca AC nel suo punto medio N. I triangoli rettangoli AMN e CMN sono uguali perchè hanno i cateti rispettivamente uguali ( MN in comune e AN=NC perchè N è punto medio di AC). Di conseguenza AM=MC.
Ma MC=BM. Resta così dimostrato che AM è metà ipotenusa.
"igiul":
Se ho capito bene hai bisogno di dimostrare che "la mediana all'ipotenusa di un triangolo rettangolo è metà ipotenusa".
Se è questo ti spiego come fare senza ricorrere alla circonferenza che ancora non avete studiato.
Teorema: Condotta dal punto medio di un lato di un triangolo la parallela ad uno degli altri lati, questa interseca il terzo nel suo punto medio.
Conosci questo teorema? (oppure sai che la congiungente i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo ed uguale ala sua metà? da questo si può ricavare il teorema enunciato prima.)
Se sì, la dimostrazione è questa:
Dal punto medio M dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC (retto per es. in A) manda la parallela ad un cateto (es. AB). Questa interseca AC nel suo punto medio N. I triangoli rettangoli AMN e CMN sono uguali perchè hanno i cateti rispettivamente uguali ( MN in comune e AN=NC perchè N è punto medio di AC). Di conseguenza AM=MC.
Ma MC=BM. Resta così dimostrato che AM è metà ipotenusa.
Grazie gentilissimo. Mi sono rivisto sul libro tutte queste cose e le ho capite. Effettivamente il teorema non l'abbiamo ancora fatto (come tante altre cose). Domani gli porto questa versione. So già che non gli andrà bene tanto ormai mi odia! tutto perché sostanzialmente vado bene, sono uno che vuole andare in fondo alle cose ed approfondire e in alcuni casi l'ho pure corretto alla lavagna (è uno poco preciso)...vabbé! :/
Non credo che un prof. possa odiare un alunno. Essere corretti quando si commettono errori non può portare a trattar male gli alunni - sempre che l'intervento non sia, diciamo, sgarbato - Certo, se la cosa succede spesso può un po' infastidire, ma è il prof. che deve stare più attento. Gli alunni potrebbero non fidarsi di quello che dice.
Un saluto
Un saluto
"igiul":
Non credo che un prof. possa odiare un alunno. Essere corretti quando si commettono errori non può portare a trattar male gli alunni - sempre che l'intervento non sia, diciamo, sgarbato - Certo, se la cosa succede spesso può un po' infastidire, ma è il prof. che deve stare più attento. Gli alunni potrebbero non fidarsi di quello che dice.
Un saluto
beh odiare no dai
ricorda che per gli studenti l'insegnante è quasi sempre il "nemico" però prendere in "antipatia" si dai! cioè si vede che tratta alcuni in una maniera, altri in un altro modo, oppure che a certi fa le interrogazioni più difficili, ad altri più facili. Io sono sempre stato garbato. Vabbè!
Anch'io faccio interrogazioni più facili a chi ha delle difficoltà e più difficili ai bravi, ma anche i voti hanno un altro peso.
"@melia":
Anch'io faccio interrogazioni più facili a chi ha delle difficoltà e più difficili ai bravi, ma anche i voti hanno un altro peso.
eh siamo messi bene allora!
Ma scusa, ragiona, che senso avrebbe fare domande difficili a uno che ha difficoltà? Domande facili e a risposte giuste si prende 6 o 61/2. Uno bravo so già che risponde esattamente alle domande facili, quindi domande difficili, a risposta esatta voto da 8 in su, a risposta sbagliata, domanda più facile, ma conseguente voto.
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