Problemino di geometria

[rollitata]

Buonasera a tutti gli amici del forum.
Ho questo problema di geometria:
Su un segmento AB lungo 20 cm si considera un punto P e si costruiscono i due quadrati rispettivamente di lato AP e PB.
Come può essere scelto P se il rapporto tra il perimetro del quadrato di lato AP e il perimetro del quadrato di lato PB deve essere minore di 4?
Io l'ho svolto così:




Ho sbagliato?
Grazie per ogni vostra eventuale risposta

[rollitata]

Al netto degli errori secondo me è proprio:

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[Studente Anonimo]

"rollitata":scusami secondo te qual'è la soluzione?

Secondo me sia \( 0< x < 16 \) che \( 0 \leq x < 16 \) sono soluzioni valide. Quello che sto dicendo, e credo di essermi spiegato male, è che formalmente per arrivare a questa soluzione puoi dire delle cose giuste e delle cose sbagliate.

Nei tre ragionamenti seguenti indico \( S_1 \) la soluzione del sistema e \(S \) la soluzione del problema geometrico.

(1) Il tuo ragionamento è il seguente, ed è corretto:
Abbiamo che \( x >0 \) perché non ha senso avere una lunghezza negativa! Inoltre il rapporto dei perimetri dev'essere minore di \(4 \), quindi risolvo questo sistema
\[ \left\{\begin{matrix} 0&<&x \\ \frac{4x}{4(20-x)}&<&4 \end{matrix}\right. \]

Trovo che questo sistema possiede soluzioni \(S_1= (0,16 ) \cup (20,+ \infty) \). Ma osservo che la condizione che \(P \) giace sul segmento \( AB\) mi impone che la sua lunghezza dev'essere minore di \(20 \), pertanto dalle soluzioni del sistema escludo quelle maggiori di \(20 \) e ottengo la soluzione del problema geometrico \( S= (0,16) \).
Qui stai dicendo giustamente che \( S \neq S_1 \)

(2) Ragionamento alternativo corretto:
Il punto \(P\) giace sul segmento \( AB \) quindi deve avere lunghezza compresa tra \( 0 \) e \( 20 \) quindi, \( 0 < x < 20 \). Inoltre i perimetri devono avere rapporto minore di \(4 \) quindi impongo il sistema seguente
\[ \left\{\begin{matrix} 0& e ottengo direttamente la soluzione del problema geometrico \( S=(0,16) \).
In questo caso \( S_1 = S \)

(3) Ragionamento simile ai due precedenti ma formalmente sbagliato:
Abbiamo che \( x >0 \) perché non ha senso avere una lunghezza negativa! Inoltre il rapporto dei perimetri dev'essere minore di \(4 \), quindi risolvo questo sistema
\[ \left\{\begin{matrix} 0&<&x \\ \frac{4x}{4(20-x)}&<&4 \end{matrix}\right. \]
Inoltre \( P \) deve giacere su \( AB \) e quindi la soluzione del sistema è \( (0,16) \).
Qui sto affermando erroneamente che \( S_1 = S \).

(3) è sbagliato perché il sistema possiede una soluzione differente dal problema geometrico. Affermare che il sistema in (3) ha soluzioni \( (0,16) \) è errato! Come vedi in (1), quello che ha fatto te correttamente, hai distinto le soluzioni del sistema dalle soluzioni del problema geometrico.
Quello che io dico è che magari il tuo professore ha pensato che hai fatto come nel (3) e non come in (1) e per questo ti ha dato sbagliato.

[mgrau]

Se proprio vogliamo proseguire nella tetratricotomia , bisognerebbe anche dire che non è corretto indicare uno dei due perimetri come $4(20 - x)$, che diventa negativo per $ > 20$, ma si dovrebbe scrivere $4 \| 20 - x \|$. E auguri...

[rollitata]

"3m0o":[quote="rollitata"]scusami secondo te qual'è la soluzione?

Secondo me sia \( 0< x < 16 \) che \( 0 \leq x < 16 \) sono soluzioni valide. Quello che sto dicendo, e credo di essermi spiegato male, è che formalmente per arrivare a questa soluzione puoi dire delle cose giuste e delle cose sbagliate.

Nei tre ragionamenti seguenti indico \( S_1 \) la soluzione del sistema e \( S \) la soluzione del problema geometrico.

(1) Il tuo ragionamento è il seguente, ed è corretto:
Abbiamo che \( x >0 \) perché non ha senso avere una lunghezza negativa! Inoltre il rapporto dei perimetri dev'essere minore di \( 4 \), quindi risolvo questo sistema
\[ \left\{\begin{matrix} 0&<&x \\ \frac{4x}{4(20-x)}&<&4 \end{matrix}\right. \]

Trovo che questo sistema possiede soluzioni \( S_1= (0,16 ) \cup (20,+ \infty) \). Ma osservo che la condizione che \( P \) giace sul segmento \( AB \) mi impone che la sua lunghezza dev'essere minore di \( 20 \), pertanto dalle soluzioni del sistema escludo quelle maggiori di \( 20 \) e ottengo la soluzione del problema geometrico \( S= (0,16) \).
Qui stai dicendo giustamente che \( S \neq S_1 \)

(2) Ragionamento alternativo corretto:
Il punto \( P \) giace sul segmento \( AB \) quindi deve avere lunghezza compresa tra \( 0 \) e \( 20 \) quindi, \( 0 < x < 20 \). Inoltre i perimetri devono avere rapporto minore di \( 4 \) quindi impongo il sistema seguente
\[ \left\{\begin{matrix} 0&
e ottengo direttamente la soluzione del problema geometrico \( S=(0,16) \).
In questo caso \( S_1 = S \)

(3) Ragionamento simile ai due precedenti ma formalmente sbagliato:
Abbiamo che \( x >0 \) perché non ha senso avere una lunghezza negativa! Inoltre il rapporto dei perimetri dev'essere minore di \( 4 \), quindi risolvo questo sistema
\[ \left\{\begin{matrix} 0&<&x \\ \frac{4x}{4(20-x)}&<&4 \end{matrix}\right. \]
Inoltre \( P \) deve giacere su \( AB \) e quindi la soluzione del sistema è \( (0,16) \).
Qui sto affermando erroneamente che \( S_1 = S \).

(3) è sbagliato perché il sistema possiede una soluzione differente dal problema geometrico. Affermare che il sistema in (3) ha soluzioni \( (0,16) \) è errato! Come vedi in (1), quello che ha fatto te correttamente, hai distinto le soluzioni del sistema dalle soluzioni del problema geometrico.
Quello che io dico è che magari il tuo professore ha pensato che hai fatto come nel (3) e non come in (1) e per questo ti ha dato sbagliato.[/quote]

Grazie tante...sei stato più che un aiuto.
Adesso ho proprio chiaro il problema.

[@melia]

"mgrau":Se proprio vogliamo proseguire nella tetratricotomia , bisognerebbe anche dire che non è corretto indicare uno dei due perimetri come $4(20 - x)$, che diventa negativo per $ > 20$, ma si dovrebbe scrivere $4 \| 20 - x \|$. E auguri...

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