Problemino analisi matematica

[francicko]

Sia $f$ continua e derivabili in$]a,+infty[$ ed esista $MinR $ tale che $|f (x)<|M $, in $]a,+infty [$. Se esiste $lim_(x->+infty)f^1(x)$, determinare tale limite .
Ho ragionato nel modo seguente:
Supponendo che esista $lim_(x->+infty)f^1(x)$ il suo valore puo' essere $0$, o anche $m$ $inR $ diverso da zero, oppure $+-infty $, detto questo, considero il limite $lim_(x->infty)f (x)/x $ ed applico de Hopital , avro' quindi $lim_(x->infty)f (x)/x=lim_(x->infty)f^1 (x)/1=lim_(x->infty)f^1 (x)$, Possiamo escludere il valore $+-infty $ in quanto $|f (x)|M $, a questo punto per esclusione deve essere $lim_(x->+infty)f^1(x)=0$, quindi la nostra funzione avra' un asintoto orizzontale.
Boh non so se è, del tutto esatto quello che ho scritto; qualcuno può verificarlo.
Grazie!

[donald_zeka]

considero il limite limx→∞f(x)x ed applico de Hopital

Hopital si applica solo a forme indeterminate $0/0$ o $oo/oo$, dove sta scritto che $f(x)/x$ appartenga a questa categoria? non sai niente di $lim_(x->+oo) f(x)$

[francicko]

D'accordo, ma se si suppone che $lim_(x->infty)f (x)=infty$ sono nelle condizioni di poter applicare hopital al $lim_(x->infty)f(x)/x$,se
tale limite è finito ma diverso da zero anche $lim_(x->infty)f^1(x)$ tenderà allo stesso limite, appunto per hopital, e questo vuol dire che la nostra funzione possiede un asintoto obliquo in contraddizione col fatto che sia $|f(x)|infty)f(x)=l$ con $l$ finito ed $|l|infty)f^1(x)=0$,avendo supposto l'esistenza di tale limite, mi sbaglio?

[@melia]

Non puoi supporre che $lim_(x-> +oo) f(x)= oo$ perché le condizioni iniziali del testo dicono chiaramente che esiste M tale che $|f(x)| - $lim_(x-> +oo) f(x)$ non esiste, ad esempio se $f(x)= sinx$
- $lim_(x-> +oo) f(x)= k$
Nel primo caso non puoi dire molto sulla derivata, mentre nel secondo caso dovresti riuscire a dimostrare che $lim_(x-> +oo) f'(x)= 0$

[francicko]

x@melia. Perdinci hai ragione!
Però posso dire che dato che per ipotesi esiste $lim_(x->infty)f^1 (x) $, tale limite non può essere diverso da zero in quanto contrariamente alle ipotesi implicherebbe che $lim_(x->infty)f (x)=infty$, ed invece sappiamo che deve essere $|f (x)|infty) f^1(x)=0$ mi sbaglio?
Inoltre il fatto che $f (x)$ sia limitata, cioe' sia $f (x)infty)f (x)=k$ con $kinR $; mi sbaglio?
D'oltre canto il semplice fatto che $lim_(x->infty)f^1(x)=0$, non assicura l'esistenza di un asintoto orizzontale, basta pensare alla funzione $logx $ la cui derivata $1/x $ per $x->infty $ tende evidentemente a $0$, ma $lim_(x->infty)logx=infty $, boh magari mi sbaglio.

[francicko]

E' effettivamente un applicazione del teorema di hopital, infatti si ha per ipotesi $lim_(x->infty)f^1 (x)=L $ finito, per il teorema di hopital questo implica che $lim_(x->infty)f (x)/x=L $ ma essendo $|f (x)|0)f (x)/x=0$ e da qui si deduce che $L=0$, ed e' così dimostrato.