Problemini di geometria
Ciao a tutti, questo è il mio primo post, frequento il primo liceo scientifico e sono un grande appassionato di matematica 
. Visto che il compito si avvicina, mi sto esercitando molto su geometria (tanto algebra sarà una cavolata, scomposizioni di polinomi e frazioni algebriche 
); potreste aiutarmi a risolvere questi problemi??
1) Si consideri un triangolo isoscele ABC di base BC e sul prolungamento di BC si prenda un punto D tale che $CD ~= BC$. Dimostrare che $BCA ~= 2CDA$ (angoli).
Questo mi pare proprio sbagliato, dopo essermi scervellato un'oretta ho provato a costruire la figura con Cabri e gli angoli non sono uno il doppio dell'altro
, confermate?
2) Dimostrare che un angolo in cui la bisettrice di un angolo è la mediana del lato opposto è isoscele.
Penso che non si possa fare, infatti nella dimostrazione "classica" si assume come ipotesi che anche l'altezza coincida con la bisettrice, così i dati non sono sufficienti...
3) Dimostrare che in un triangolo isoscele il segmento che congiunge il vertice con un punto interno alla base è minore di ciascuno dei lati congruenti.
Questo intuitivamente è giusto, ho provato anche a darne una dimostrazione ma mi sa che la prof non lo accetta così. Chiamiamo il triangolo ABC, la base AB e il punto interno P. Dobbiamo dimostrare che CP < AC. Poiché in ogni triangolo a lato maggiore corrisponde angolo maggiore, ciò equivale a dimostrare che CAP < APC (angoli).
Consideriamo le 2 posizioni limite che può assumere il punto P sulla base AB: quando $P -= B$, $APC ~= ABC ~= BAC$, quindi $AP ~= AC$. Quando $P -= A$, APC è uguale a un angolo piatto. Quindi APC può assumere un'ampiezza compresa tra ABC e l'angolo piatto, di conseguenza se P è un punto interno APC > CAP c.v.d.
Va bene? Esiste una dimostrazione più soddisfacente?
4) Dimostrare che in ogni triangolo rettangolo l'ipotenusa è maggiore della semisomma dei cateti.
E' ovvio, usando la trigonometria diventa fin troppo cretino ma non saprei come risolverlo con una dimostrazione esclusivamente geometrica.
5) Dato il triangolo ABC, sia D il punto d'intersezione della bisettrice dell'angolo CAB con il lato opposto. Dimostrare che AB > AD.
Qua non ho proprio idea di cosa fare...
Grazie mille in anticipo a chi mi risponderà!
P.S. Ancora non sono molto pratico con la scrittura matematica, scusatemi per eventuali errori.
Ciao
. Visto che il compito si avvicina, mi sto esercitando molto su geometria (tanto algebra sarà una cavolata, scomposizioni di polinomi e frazioni algebriche ); potreste aiutarmi a risolvere questi problemi??1) Si consideri un triangolo isoscele ABC di base BC e sul prolungamento di BC si prenda un punto D tale che $CD ~= BC$. Dimostrare che $BCA ~= 2CDA$ (angoli).
Questo mi pare proprio sbagliato, dopo essermi scervellato un'oretta ho provato a costruire la figura con Cabri e gli angoli non sono uno il doppio dell'altro
, confermate?2) Dimostrare che un angolo in cui la bisettrice di un angolo è la mediana del lato opposto è isoscele.
Penso che non si possa fare, infatti nella dimostrazione "classica" si assume come ipotesi che anche l'altezza coincida con la bisettrice, così i dati non sono sufficienti...
3) Dimostrare che in un triangolo isoscele il segmento che congiunge il vertice con un punto interno alla base è minore di ciascuno dei lati congruenti.
Questo intuitivamente è giusto, ho provato anche a darne una dimostrazione ma mi sa che la prof non lo accetta così. Chiamiamo il triangolo ABC, la base AB e il punto interno P. Dobbiamo dimostrare che CP < AC. Poiché in ogni triangolo a lato maggiore corrisponde angolo maggiore, ciò equivale a dimostrare che CAP < APC (angoli).
Consideriamo le 2 posizioni limite che può assumere il punto P sulla base AB: quando $P -= B$, $APC ~= ABC ~= BAC$, quindi $AP ~= AC$. Quando $P -= A$, APC è uguale a un angolo piatto. Quindi APC può assumere un'ampiezza compresa tra ABC e l'angolo piatto, di conseguenza se P è un punto interno APC > CAP c.v.d.
Va bene? Esiste una dimostrazione più soddisfacente?
4) Dimostrare che in ogni triangolo rettangolo l'ipotenusa è maggiore della semisomma dei cateti.
E' ovvio, usando la trigonometria diventa fin troppo cretino ma non saprei come risolverlo con una dimostrazione esclusivamente geometrica.
5) Dato il triangolo ABC, sia D il punto d'intersezione della bisettrice dell'angolo CAB con il lato opposto. Dimostrare che AB > AD.
Qua non ho proprio idea di cosa fare...
Grazie mille in anticipo a chi mi risponderà!
P.S. Ancora non sono molto pratico con la scrittura matematica, scusatemi per eventuali errori.
Ciao
Risposte
3) in un triangolo, ciascun lato e' minore della somma degli altri 2. (tanto basta, considerando i 2 triangoli in cui risulta diviso il triangolo isoscele)
1) Il testo deve essere sbagliato. Dovrebbe essere CD = AC.
4) Semplicemente:
i > a
i > b
Sommando si ha i > (a + b)/2.
4) Semplicemente:
i > a
i > b
Sommando si ha i > (a + b)/2.
4) Semplicemente:
i > a
i > b
Sommando si ha i > (a + b)/2.
Che scemo sono stato a non pensarci prima!
Beh grazie ancora
2) Dimostrare che un angolo in cui la bisettrice di un angolo è la mediana del lato opposto è isoscele.
Penso che non si possa fare, infatti nella dimostrazione "classica" si assume come ipotesi che anche l'altezza coincida con la bisettrice, così i dati non sono sufficienti...
I dati sono sufficienti, forse però tu ancora non conosci il teorema della bisettrice, io l'ho fatto in secondo liceo mi pare...
Sostanzialmente, con AM bisettrice dell'angolo, il teorema della bisettrice dice che
sussiste la relazione
$(AB)/(AC)=(BM)/(CM)$
Nel tuo caso, il secondo rapporto è uno, perchè i segmenti in cui il lato risulta diviso sono uguali. Quinid anche il primo membro deve essere uno, ne segue che i due lati sono uguali. Triangolo isoscele.
I dati sono sufficienti, forse però tu ancora non conosci il teorema della bisettrice, io l'ho fatto in secondo liceo mi pare...
Tutta colpa del mio eserciziario di m***a!
Dove posso trovare la dimostrazione su Internet?
Su wikipedia la dovresti trovare.
Comunque le dimostrazioni possibili sono più di una, non so però come stai messo con il programma.
Ciao
Comunque le dimostrazioni possibili sono più di una, non so però come stai messo con il programma.
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo