Problemini con la trigonometria

[Lucrezio1]

Salve!
Devo trasformare la funzione $y=sin(2x) + sqrt(3)cos(2x)-4 $ nella forma $y=Asin(x+k)cos(x+k)-4$. Come devo fare? Ho provato con l'angolo aggiunto e con le formule goniometriche, ma nulla!

[chiaraotta1]

$Asin(x+k)cos(x+k)=1/2Asin[2(x+k)]=1/2Asin(2x+2k)$ (Formula di duplicazione del seno)
e
$sin(2x)+sqrt(3)cos(2x)=2sin(2x+pi/3)$ (Angolo aggiunto).
Per cui deve essere
$1/2A=2->A=4$
e
$2k=pi/3->k=pi/6$.
Quindi
$y=sin(2x)+sqrt(3)cos(2x)-4=4sin(x+pi/6)cos(x+pi/6)-4$

[Lucrezio1]

Geniale, grazie
Poi ho un altro problema: è dato il triangolo isoscelere ABC di base AB = 2a e lato obliquo AC=CB=5a. calcola le funzioni goniometriche degli angoli $alpha$ adiacenti alla base.
E me li sono trovati, dovrebbero essere $cosalpha=1/5, sinalpha=2sqrt(6)/5$.
Poi il problema va avanti: traccia la semicrf di diametro Ab esterna al triangolo e considera su di essa un punto P con BAP=x. Verifiche che $f(x)=(PC^2+PB^2)/(AB)^2$ può essere scritta nella forma $y=27/4 + 5/2sin(2x - alpha_1)$....
il problema va ancora avanti, ma mi fermo qui.
AB è 2a.
PB, per il teorema della corda, è $2asinx$.
per trovare $CP^2$ uso carnot sul triangolo CPB.
quindi: $CP^2=25a^2+4a^2sin^2x-2*5a*2asinxcos(pi/2+alpha-x)$.
La relazione diventa: $f(x)=(8a^2sin^2x+25a^s-20a^2sinx(sinxcosalpha-sinalphacosx))/(4a^2)$
$=(25+8sin^2x-20sin^xcosalpha+20sinalphacosxsinx)/4$...
ovviamente mi pare di aver sbagliato qualcosa... aiutatemi per favore:(

[chiaraotta1]

Trovo anch'io $cos(alpha)=1/5$ e $sin(alpha)=2/5 sqrt(6)$.
Però poi troverei questi risultati:
$AP=2acos(x)$,
$BP=2asin(x)$,
$PC^2=AP^2+AC^2-2AP*AC*cos(x+alpha)=4a^2cos^2(x)+25a^2-2*2acos(x)*5a*cos(x+alpha)=$
$a^2{4cos^2(x)+25-20*cos(x)*[cos(x)cos(alpha)-sin(x)sin(alpha)]}=$
$a^2{4cos^2(x)+25-20*cos(x)*[1/5cos(x)-2/5 sqrt(6)sin(x)]}=$
$a^2 [4cos^2(x)+25-4*cos^2(x)+8sqrt(6)sin(x)cos(x)]=a^2 [25+8sqrt(6)sin(x)cos(x)]$,
$PB^2=4a^2sin^2(x)$.
Perciò
$f(x)=(PC^2+PB^2)/(AB^2)=(a^2 [25+8sqrt(6)sin(x)cos(x)]+4a^2sin^2(x))/(4a^2)=$
$(25+8sqrt(6)sin(x)cos(x)+4sin^2(x))/4=25/4+sqrt(6)sin(2x)+sin^2(x)=$
$25/4+sqrt(6)sin(2x)+(1-cos(2x))/2=27/4-5/2cos(2x+alpha)$

[Lucrezio1]

perchè $sin^2x = (1-cos(2x))/2$? o.O

[Lucrezio1]

ok ok l'ho capito! ma non riesco a capire l'ultimo passaggio!

[chiaraotta1]

Formula di duplicazione del coseno:
$cos(2x)=1-2sin^2(x)->2sin^2(x)=1-cos(2x)->sin^2(x)=(1-cos(2x))/2$.

La funzione si può riscrivere trasformando il termine in coseno:
$cos(2x+alpha)=sin[pi/2-(2x+alpha)]=sin[-2x+(pi/2-alpha)]=sin(-2x+alpha_1)=-sin(2x-alpha_1)$,
dove si è posto
$alpha_1=pi/2-alpha$.
Perciò
$f(x)=27/4-5/2cos(2x+alpha)=27/4-5/2[-sin(2x-alpha_1)]=27/4+5/2sin(2x-alpha_1)$,
con $alpha_1$ il complementare di $alpha$.

Per l'ultimo passaggio ...
$27/4-5/2cos(2x+alpha)=25/4+1/2-5/2[cos(2x)cos(alpha)-sin(2x)sin(alpha)]=$
$25/4+1/2-5/2[cos(2x)*1/5-sin(2x)*2/5sqrt(6)]=$
$25/4+1/2-1/2cos(2x)+sqrt(6)sin(2x)=25/4+sqrt(6)sin(2x)+(1-cos(2x))/2$.

[Lucrezio1]

Ho capito, ti ringrazio.
Adesso il problema è con
"E' data una semicirconferenza di diametro AB=2r, determinare su di essa un punto C in modo che si abbia $2AC+3BC=2kr$.
Allora per arrivare alla risolvente è molto semplice, basta applicare un paio di volte il teorema della corda, e ottengo:
${(2cosx+3sinx=k),(o<=x<=pi/2):}$, ovvero, ponendo cosx=X e senx=y, ${(X^2+y^2=1),(2X+3y=k),(0<=X<=1),(0<=y<=1):}$.
C'è la circonferenza goniometrica, di cui mi interessa solo l'arco nel primo quadrante, e un fascio improprio di rette parallele a $y=-2/3k$. Bene. Trovo la retta passante per (1,0), per (0,1) [sostituendo] e poi la retta tangente ponendo la distanza centro-retta uguale al raggio, che è 1.
Trovo che la retta per (1,0) ha parametro $k=2$.
Quella per (0,1) ha parametro $k=3$.
La tangente $k=sqrt(13)$.
Adesso ho dei dubbi sulla discussione:

1) $k=2$ : che succede?
2) $2 3) $k=3$ : che succede?
4) $3 5) $k=sqrt(13)$: due soluzioni coincidenti.

Potreste aiutarmi?:(
E poi, è completa la discussione? in questo caso ha poco senso discutere il segno delle soluzioni, visto che si parte da un problema di geometria... C'è altro che si potrebbe discutere?

[@melia]

$k=2$ una soluzione limite
...
$k=3$ una soluzione limite e una ordinaria

[Lucrezio1]

Grazie @melia!
Adesso ho questo problema: ${(sinxcosx+cos^2x=k-2),(0

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[@melia]

Sostituisci $sinx cosx= 1/2 sin 2x$ e $cos^2 x= 1/2(1+cos 2x)$ in questo modo la funzione diventa lineare e metti a sistema un fascio di rette con la circonferenza goniometrica.
N.B. ovviamente la limitazione dell'angolo diventa $0< 2x< pi/2$

[Lucrezio1]

oook grazie!!