PROBLEMI TALETE E SIMILITUDINE (309167)

[lisettttttttttt]

E' data una semicirconferenza di diametro AB e raggio r. Un trapezio isoscele ABCD, inscritto nella semicirconferenza, è tale che la base minore CD misura
10/13 r. Indica con E il punto di intersezione dei lati obliqui del trapezio e determina la misura del perimetro del triangolo DCE.
RISULTATO
5/13 r (2 + radice 13)

[anna.supermath]

Ciao
Ecco la soluzione.
Base maggiore AB = 2r
Base minore DC = (10/13)r
Sia H il piede dell’altezza relativa alla base DC del triangolo DCE, quindi
EH altezza relativa a DC del triangolo DCE.
Poniamo EH = x
Troviamo l’altezza del trapezio ABCD considerando il triangolo rettangolo OHD (retto in H) ed applicando il Th. di Pitagora.
OH = radice quadrata di ((DO)^2 - (DH)^2)
DH = (1/2)(10/13)r
DH = (5/13)r
DO = r
Svolgendo i calcoli (vedi pdf allegato)
OH = (12/13)r
Adesso consideriamo i triangoli ABE e DCE che sono simili, quindi
AB:DC = OE:EH
2r : (10/13)r = (x+(12/13)r) : x
2rx = (10/13)r(x+(12/13)r)
Risolvendo
x = (15/26)r
A questo punto di può trovare il lato del triangolo DCE col Th. di Pitagora:
DE = radice quadrata di (DH)^2 + (EH)^2
Svolti i calcoli (vedi pdf allegato)
DE = (5/26)r (radice quadrata di 13)
Si può calcolare il perimetro di DCE
2p = 2( 5/26)r(radice quadrata di 13) + (10/13)r =
= (5/13)r(2 + radice quadrata di 13).

Da notare che i triangoli ABE e DCE sono simili perché hanno gli angoli corrispondenti uguali: A e B sono uguali perché il trapezio è isoscele; A è uguale a D perché le rette parallele DC e AB sono tagliate da AE, e questi angoli sono uguali; analogo ragionamento per gli angoli B e C.
La similitudine la puoi provare anche utilizzando il Teorema di Talete e la proporzionalità fra i lati.