Problemi sulla circonferenza (45905)

[sandro]

salve mi servirebbe aiuto su questi problemi...spero mi aiuterete...

1)determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2+y2-8x-6y+20=0 rispettivamente nei punti a(5;1) e b(6;4).trova le cordinate del punto d di intersezione delle rette trovate e l'area del quadrilatero adbc;con c centro della circonferenza

2)scrivi l'equazione della circonferenza che ha il centro C sull'asse x e passa per ipunti a(0;2)e b(-1/2;-3/2).calcola l'ascissa del punto d di intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle ascisse e dopo avere trovato le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza in A e D,determina le cordinate del loro punto di intersezione P e l'area del quadrilatero APDC
GRAZIE IN ANTICIPO

[BIT5]

ESERCIZIO 1)

Premesso che:

la circonferenza

[math] x^2+y^2-8x-6y+20=0 [/math]

ha centro in

[math] x_C= - \frac{a}{2} = 4 [/math]

[math] y_C= - \frac{b}{2} = 3 [/math]

e quindi

[math] C ( 4,3 ) [/math]

e raggio

[math] r= \sqrt{x_C^2+y_C^2-c}= \sqrt{4^2+3^2-20}= \sqrt5 [/math]

e che il punto A appartiene alla circonferenza (lo dice il problema, ma per ulteriore verifica controlli che le coordinate del punto soddisfino l'equazione della circonferenza) :

[math] 5^2+1^2-8(5)-6(1)+20=0 \to 25+1-40-6+20=0 \to 0=0 [/math]

scritto il fascio di rette passanti per il punto A:

[math] y-y_A=m(x-x_A) \to y-1=m(x-5)[/math]

e quindi in forma esplicita:

[math] y=mx-5m+1 [/math]

e in forma implicita:

[math] mx-y-5m+1=0 [/math]

Vediamo 3 modi per trovare la soluzione al primo quesito.

A) la retta tangente ha SEMPRE distanza dal centro pari al raggio.

Poniamo dunque che la distanza centro-retta del fascio sia pari al raggio.

[math] \frac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=r [/math]

e dunque

[math] \frac{|4m-3-5m+1|}{\sqrt{m^2+1^2}}= \sqrt5 [/math]

ovvero

[math] |-m-2|= \sqrt5 \sqrt{m^2+1} [/math]

[math] (-m-2)^2= \( \sqrt{5(m^2+1)} \)^2 \to m^2+4m+4=5m^2+5 \to \\ \to 4m^2-4m+1=0 \to (2m-1)^2=0 \to m= \frac12 [/math]

la retta del fascio che soddisfa la condizione di tangenza sara' dunque (sostituendo il valore di m trovato, al fascio)

[math] y= \frac12x- \frac32 [/math]

in forma implicita:

[math] x-2y-3=0 [/math]

B) la retta tangente e' sempre perpendicolare al raggio.

Troviamo la retta che contiene il raggio (e che quindi passa sia per il centro che per il punto di tangenza)

[math] \frac{y-y_C}{y_A-y_C}= \frac{x-x_C}{x_A-x_C} [/math]

e dunque

[math] \frac{y-3}{1-3}= \frac{x-4}{5-4} \to y-3=-2x+8 \to y=-2x+11 [/math]

pertanto la sua perpendicolare avra' pendenza pari all'antireciproco della retta trovata e quindi

[math] m_T=- \frac{1}{-2} = \frac12 [/math]

che sostituita al fascio dara' la retta di prima

C) in questo caso e' il metodo piu' lungo, ma te lo posto lo stesso:

troviamo i punti di intersezione tra la circonferenza e il fascio di rette (che saranno punti contenenti il parametro)

[math] \{ x^2+y^2-8x-6y+20=0 \\ y=mx-5m+1 [/math]

Sostituiamo alla y della circonferenza il valore fornito dal fascio

[math] x^2+(mx-5m+1)^2-8x-6(mx-5m+1)+20=0 \to \\ \to x^2+m^2x^2+25m^2+1-10m^2x+2mx-10m-8x-6mx+30m-6+20=0 [/math]

e quindi

[math] x^2+m^2x^2-10m^2x-4mx-8x+25m^2+20m+15=0 [/math]

raccogliamo le x a fattore parziale

[math] (1+m^2)x^2+2(-5m^2-2m-4)x+25m^2+20m+15=0 [/math]

questa equazione di secondo grado, avra' due soluzioni, una soluzione o nessuna soluzione, a seconda del valore che il Delta assumera'

Siccome vogliamo che i punti di intersezione siano due coincidenti, porremo il delta = 0.

Siccome ho raccolto un 2 al coefficiente di x, possiamo usare Delta quarti della formula ridotta:

[math] \frac{\Delta}{4}= (-5m^2-2m-4)^2-(m^2+1)(25m^2+20m+15) [/math]

che dovra' essere = a 0, quindi

[math] 25m^4+4m^2+16+20m^3+40m^2+16m-(25m^4+20m^3+15m^2+25m^2+20m+15)=0 [/math]

facendo i conti

[math] \no{25m^4}+4m^2+16+\no{20m^3}+40m^2+16m- \no{25m^4}- \no{20m^3}-15m^2-25m^2-20m-15=0 [/math]

[math] 4m^2-4m+1=0 [/math]

e quindi

[math] (2m-1)^2=0 \to m= \frac12 [/math]

come vedi le tre strade portano alla stessa soluzione...

Indubbiamente i primi due metodi sono molto molto piu' veloci..

Ora procedi con il punto B.

Posta le coordinate, e vediamo il successivo punto.

Un suggerimento per l'area del quadrilatero.

Trova la distanza tra due punti (a caso) non consecutivi;

Trova l'equazione della retta che unisce i due punti;

trova infine la distanza della retta dai due vertici per cui la retta non passa.

cosi' facendo avrai la base (comune) dei due triangoli e le altezze.

L'area del quadrilatero sara' la somme delle aree dei due triangoli