Problemi sulla circonferenza (41167)
1) Trovare la misura della corda comune alle due circonferenze: x"+y"-6x+3y-2=0 e x"+y"-4x+5y-8=0 (ho provato a fare il sistema tra le due circonferenze con il metodo della sottrazione, poi l'asse radicale l'ho messo a sistema con una delle due ma ovviamente non so continuare)
2)Determinare le equazioni delle due circonferenze tangenti alle rette r: y=3/4x-19/4, s: y=-4/3x+14, ed aventi il centro sulla retta t: y=x+1. Verificare che solo una delle due circonferenze ottenute incontra gli assi; determinare le coordinate dei punti d'intersezione e trovare la superficie del quadrilatero avente i vertici in tali punti. (qui non ho proprio l'idea di cosa fare)
2)Determinare le equazioni delle due circonferenze tangenti alle rette r: y=3/4x-19/4, s: y=-4/3x+14, ed aventi il centro sulla retta t: y=x+1. Verificare che solo una delle due circonferenze ottenute incontra gli assi; determinare le coordinate dei punti d'intersezione e trovare la superficie del quadrilatero avente i vertici in tali punti. (qui non ho proprio l'idea di cosa fare)
Risposte
La corda comune e' proprio il segmento che unisce i due punti di intersezione.
Quindi:
Per sottrazione
E quindi
Che e' l'equazione dell'asse radicale.
Quindi:
[math] \{x^2+y^2-6x+3y-2=0 \\ x^2+y^2-4x+5y-8=0 [/math]
Per sottrazione
[math] \{ -2x-2y+6=0 \\ x^2+y^2-4x+5y-8=0 [/math]
E quindi
[math] \{ y=-x+3 [/math]
Che e' l'equazione dell'asse radicale.
questo l'ho fatto e mi è uscito. Non l'ho fatto esattamente così... è molto più complicato usando questi schemi! quando ho trovato l'asse radicale l'ho messo a sistema e ho trovate prima le due incognite di x e poi sostituendo all'asse radicale ho trovato le incognite di y... infine ho fatto la distanza tra questi punti per trovare la corda. l'asse radicale mi viene x+y-3=0, ovviamente tu non hai sbagliato... non l'hai solamente ridotto. solo il secondo non riesco ad impostarlo bene... ci sto provando e riprovando!!
Aggiunto 1 minuti più tardi:
ah ecco l'hai modificato! ok... puoi dirmi per quanto riguarda il secondo problema??
Aggiunto 1 minuti più tardi:
ah ecco l'hai modificato! ok... puoi dirmi per quanto riguarda il secondo problema??
A questo punto metti a sistema la retta con una circonferenza, sostituendo dunque ai valori di y il controvalore (-x+3)
Quindi
Sommi i monomi simili
Da cui
e
Aggiunto 26 minuti più tardi:
Per quanto riguarda il secondo.
Sai che il centro sta sulla retta
Il centro delle circonferenze generiche per cui le rette saranno tangenti, sara' equidistante dalle due rette.
Le due rette in forma implicita, saranno:
La distanza del centro generico dalle due retta, ribadisco, dovra' essere uguale:
Semplifichiamo i denominatori
Eliminiamo i valori assoluti
Da cui
I centri dunque saranno:
Consideriamo il primo centro, ricordando che l'equazione generica della circonferenza e'
E che
Quindi la circonferenza sara'
Per quanto riguarda c, potremmo riproporre la condizione di tangenza, o meglio, calcolare la distanza del centro da una delle due rette e porre che sia uguale al raggio:
Prendiamo, ad esempio,
Ditanza retta-centro:
Quindi il raggio sara' 5.
La circonferenza sara'
Intersezione con gli assi:
Asse y:x=0
Da cui (utilizzando la ridotta)
Analogamente riprova gli stessi passaggi con l'altra circonferenza.
[math] x^2+(-x+3)^2-4x+5(-x+3)-8=0 [/math]
Quindi
[math] x^2+x^2+9-6x-4x-5x+15-8=0 [/math]
Sommi i monomi simili
[math] 2x^2-15x+16=0 [/math]
Da cui
[math] \Delta= 15^2-4(2)(16)=97 [/math]
[math] x_1= \frac{15+ \sqrt{97}}{4} \to y_1=-\frac{15+ \sqrt{97}}{4}+3 \to y_1= \frac{-3- \sqrt{97}}{4} [/math]
e
[math] x_2= \frac{15- \sqrt{97}}{4} \to y_2=- \frac{15- \sqrt{97}}{4}+3 \to y_2= \frac{-3- \sqrt{97}}{4} [/math]
Aggiunto 26 minuti più tardi:
Per quanto riguarda il secondo.
Sai che il centro sta sulla retta
[math] y=x+1 [/math]
pertanto detta [math] x_0 [/math]
l'ascissa generica del centro, l'ordinata sara' [math] x_0+1 [/math]
Il centro delle circonferenze generiche per cui le rette saranno tangenti, sara' equidistante dalle due rette.
Le due rette in forma implicita, saranno:
[math] 3x-4y-19=0 [/math]
e [math] 4x+3y-42=0 [/math]
La distanza del centro generico dalle due retta, ribadisco, dovra' essere uguale:
[math] \frac{|3x_0-4(x_0+1)-19|}{\sqrt{9+16}}= \frac{|4x_0+3(x_0+1)-42|}{ \sqrt{9+16} [/math]
Semplifichiamo i denominatori
[math] |3x_0-4x_0-4-19|=|4x_0+3x_0+3-42| [/math]
Eliminiamo i valori assoluti
[math] -x_0-23= \pm (7x_0-39) [/math]
Da cui
[math] -x_0-23=7x_0-39 \to 8x_0=16 \to x_0=2 [/math]
[math] -x_0-23=-7x_0+39 \to 6x_0=62 \to x_0= \frac{31}{3} [/math]
I centri dunque saranno:
[math] x_1=2, y_1=3 [/math]
[math] x_2= \frac{31}{3}. y_2=\frac{34}{3} [/math]
Consideriamo il primo centro, ricordando che l'equazione generica della circonferenza e'
[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]
E che
[math] x_C= - \frac{a}{2}=2 \to a=-4 [/math]
[math] y_C= - \frac{b}{2}= 3 \to b=-6 [/math]
Quindi la circonferenza sara'
[math] x^2+y^2-4x-6y+c=0 [/math]
Per quanto riguarda c, potremmo riproporre la condizione di tangenza, o meglio, calcolare la distanza del centro da una delle due rette e porre che sia uguale al raggio:
Prendiamo, ad esempio,
[math] 3x-4y-19=0 [/math]
Ditanza retta-centro:
[math] \frac{|3(2)-4(3)-19|}{\sqrt{9+16}}= \frac{|-25|}{5}=5 [/math]
Quindi il raggio sara' 5.
[math] \sqrt{x_C^2+y_C^2-c}=5 \to \sqrt{4+9-c}=5 \to \sqrt{13-c}=5 \to 13-c=25 \to c=38 [/math]
La circonferenza sara'
[math] x^2+y^2-4x-6y+38=0 [/math]
Intersezione con gli assi:
Asse y:x=0
[math] y^2-6y+38=0 [/math]
Da cui (utilizzando la ridotta)
[math] y= 3 \pm \sqrt{9-38} [/math]
che non ha intersezioni (Delta negativo)Analogamente riprova gli stessi passaggi con l'altra circonferenza.
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