Problemi sul lavoro con forza variabile
Problema n.1: Guidare contro l'aria
Un auto inizialmente ferma si muove con un'accelerazione costante a. Per effetto della resistenza dell'aria tuttavia la forza che agisce su di essa non è costante ma varia sia con la velocità che nel tempo e può essere espressa dalla relazione
Problema n.2: La molla volante
Una massa m appesa a una molla di massa trascurabile con una forza di richiamo uguale a k, è agganciata alla carlinga di un aereo. Tenendo presente che, volando l'aereo orizzontalmente con un'accelerazione uniforme
Problema n.3 Lavoro di una forza in componenti cartesiane
Su un punto materiale che si muove nel piano (x,y) e la cui posizione in funzione del tempo è data da r = 2ti-t^3j agisce una forza F = x^2i-xyj. Determinare il lavoro compiuto da tale forza nell'intervallo di tempo 1
Un auto inizialmente ferma si muove con un'accelerazione costante a. Per effetto della resistenza dell'aria tuttavia la forza che agisce su di essa non è costante ma varia sia con la velocità che nel tempo e può essere espressa dalla relazione
[math]F_a=-v(A+B\sin{t})[/math]
Determinare il lavoro che l'auto deve compiere per contrastare l'attrito dell'aria nell'intervallo di tempo [math]\frac{\pi}{2}[/math]
Problema n.2: La molla volante
Una massa m appesa a una molla di massa trascurabile con una forza di richiamo uguale a k, è agganciata alla carlinga di un aereo. Tenendo presente che, volando l'aereo orizzontalmente con un'accelerazione uniforme
[math]a=\frac{1}{2}g[/math]
, la forza inerziale della massa fa tendere la molla, determinare: a) il lavoro compiuto dall'aereo sul sistema molla massa in t secondi; b) Il lavoro compiuto dall'aereo sulla sola molla. si trascurino le oscillazioni della molla.Problema n.3 Lavoro di una forza in componenti cartesiane
Su un punto materiale che si muove nel piano (x,y) e la cui posizione in funzione del tempo è data da r = 2ti-t^3j agisce una forza F = x^2i-xyj. Determinare il lavoro compiuto da tale forza nell'intervallo di tempo 1
Risposte
1) Il primo mi sembra giusto: l'unica cosa è che non credo ci vada quel meno.
2) Al momento c'è qualcosa che non mi quadra su questo esercizio. Ci penso un po'.
3) Dunque, qui devi parametrizzare tutto. Tu sai che
per cui
A questo punto, essendo
e quindi
(Nota che non hai bisogno di fare conversioni, in quanto puoi supporre di aver usato sin dall'inizio le unità in cgs).
4) Credo faccia riferimento al centro della curva: essendo essa una parabola, stiamo parlando del vertice. Esso, ovviamente, è il punto di coordinate
Per calcolare il lavoro in un punto qualsiasi
e quindi il lavoro totale dal centro ad un punto
Ora, secondo me quello che devi fare è porre
e quindi
da cui le soluzioni
Nota che tali soluzioni si presentano a causa della strana forma della forza gravitazionale: con quella "terrestre" avresti un punto X che tende all'infinito dalla sorgente della gravità come punto di fuga dalla forza.
2) Al momento c'è qualcosa che non mi quadra su questo esercizio. Ci penso un po'.
3) Dunque, qui devi parametrizzare tutto. Tu sai che
[math]r(t)=2t\ i-t^3\ j[/math]
per cui
[math]x(t)=2t,\ y(t)=t^3[/math]
e quindi in componenti si ha[math]F(t)=(x^2,-xy)=(4t^2,2t^4)[/math]
. A questo punto, essendo
[math]dr=(2\ i-3t^2\ j)\ dt[/math]
segue[math]dW=F(t)\cdot dr=4t^2\cdot 2\ dt+(2t^4)\cdot(-3t^2)\ dt=(8t^2-6t^6)\ dt[/math]
e quindi
[math]W=\int_1^3 F(t)\cdot dr=\int_1^3(8t^2-6t^6)\ dt=\left[\frac{8t^3}{3}-\frac{6t^7}{7}\right]_1^3=-\frac{37892}{21}=-1804,38[/math]
(Nota che non hai bisogno di fare conversioni, in quanto puoi supporre di aver usato sin dall'inizio le unità in cgs).
4) Credo faccia riferimento al centro della curva: essendo essa una parabola, stiamo parlando del vertice. Esso, ovviamente, è il punto di coordinate
[math]O(0,0)[/math]
origine del sistema di riferimento.Per calcolare il lavoro in un punto qualsiasi
[math](x,y)=\left(x,\frac{3x^2}{4R}\right)[/math]
devi calcolare, posto [math]dr=dx\ i+dy\ j[/math]
[math]dW=F(x,y)\cdot dr=\left(\frac{mgx}{R},mg\left(\frac{3x^2}{2R^2}-1\right)\right)\cdot\left(dx,\frac{3x}{2R}\ dx\right)=\\
=\left[\frac{mgx}{R}+mg\frac{3x}{2R}\left(\frac{3x^2}{2R^2}-1\right)\right]\ dx=\frac{mg}{2R}\left[\frac{9x^3}{2R^2}-x\right]\ dx[/math]
=\left[\frac{mgx}{R}+mg\frac{3x}{2R}\left(\frac{3x^2}{2R^2}-1\right)\right]\ dx=\frac{mg}{2R}\left[\frac{9x^3}{2R^2}-x\right]\ dx[/math]
e quindi il lavoro totale dal centro ad un punto
[math]X[/math]
qualsiasi è [math]W=\int_0^X\frac{mg}{2R}\left[\frac{9x^3}{2R^2}-x\right]\ dx=\frac{mg}{2R}\left[\frac{9x^4}{8R^2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^X=\frac{mg}{2R}\left[\frac{9X^4}{8R^2}-\frac{X^2}{2}\right][/math]
Ora, secondo me quello che devi fare è porre
[math]W=0[/math]
: infatti questo ti direbbe che la forza gravitazionale non svolge lavoro sul corpo e che, quindi, il corpo stesso può sfuggire alla sua influenza. Ne segue che[math]\frac{9X^4}{8R^2}-\frac{X^2}{2}=0[/math]
e quindi
[math]\frac{9X^2}{8R^2}-\frac{1}{2}=0\ \Rightarrow\ X^2=\frac{4R^2}{9}[/math]
da cui le soluzioni
[math]X=\pm\frac{2R}{3}[/math]
.Nota che tali soluzioni si presentano a causa della strana forma della forza gravitazionale: con quella "terrestre" avresti un punto X che tende all'infinito dalla sorgente della gravità come punto di fuga dalla forza.
Problema 1. Il lavoro mi viene
Giusto? (N.B Ho calcolato l'integrale di ogni lavorino, la derivata della posizione in funzione del tempo è la velocità, quindi dW=-v^2(A+Bsint)=-a^2t^2(A+Bsint), da integrare da 0 a pi/2).
Problema n.3 Risolto
Aggiunto 12 minuti più tardi:
Problema n.4 Evidentemente il significato di "far allontanare nuovamente la massa dal centro" non era semplicemente questo, perchè lei non ha fatto altro che porre il lavoro totale = 0, e questo era quello che era stato richiesto prima dal problema, e io sono riuscito a risolvere il primo quesito. Inoltre, nei risultati risulta essere
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Dunque il dilemma è COSA SIGNIFICA FAR ALLONTANARE NUOVAMENTE LA MASSA DAL CENTRO? il libro da un suggerimento: conviene scegliere x in modo che inizialmente il lavoro diminuisca al crescere di x. RItorno a dire che non capisco cosa vuole sapere il problema...
[math]W=-\frac{\pi^3}{24}Aa^2+2a^2B[/math]
. Giusto? (N.B Ho calcolato l'integrale di ogni lavorino, la derivata della posizione in funzione del tempo è la velocità, quindi dW=-v^2(A+Bsint)=-a^2t^2(A+Bsint), da integrare da 0 a pi/2).
Problema n.3 Risolto
Aggiunto 12 minuti più tardi:
Problema n.4 Evidentemente il significato di "far allontanare nuovamente la massa dal centro" non era semplicemente questo, perchè lei non ha fatto altro che porre il lavoro totale = 0, e questo era quello che era stato richiesto prima dal problema, e io sono riuscito a risolvere il primo quesito. Inoltre, nei risultati risulta essere
[math]x=\frac{\sqrt{2}}{3}R[/math]
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Dunque il dilemma è COSA SIGNIFICA FAR ALLONTANARE NUOVAMENTE LA MASSA DAL CENTRO? il libro da un suggerimento: conviene scegliere x in modo che inizialmente il lavoro diminuisca al crescere di x. RItorno a dire che non capisco cosa vuole sapere il problema...
A questo punto non lo capisco neanche io!
E mi dica quell'integrale dell'esercizio 1 come si risolve? E' giusto il risultato che ho trovato (vedere post **********************). E l'esercizio sulla molla? (esercizio 2)
Allora
Ora il primo integrale è
mentre, per il secondo, usando la formula di integrazione per parti si ha
da cui
e quindi
Per il secondo: ancora non riesco a trovare una soluzione.
[math]\int_0^{\pi/2} at(A+B\sin t)\ dt=a\left[A\int_0^{\pi/2}t\ dt+B\int_0^{\pi/2} t\sin t\ dt\right][/math]
Ora il primo integrale è
[math]\int_0^{\pi/2} t\ dt=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi^2}{8}[/math]
mentre, per il secondo, usando la formula di integrazione per parti si ha
[math]\int_0^{\pi/2} t\sin t\ dt=\left[-t\cos t\right]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos t\ dt=\left[\sin t\right]_0^{pi/2}=1[/math]
da cui
[math]\int_0^{\pi/2} at(A+B\sin t)\ dt=a\left[A\frac{\pi^2}{8}+B\right][/math]
e quindi
[math]W=\frac{\pi^2}{8}a\cdot a\left[A\frac{\pi^2}{8}+B\right]=a^2\frac{\pi^2}{8}\left[A\frac{\pi^2}{8}+B\right][/math]
Per il secondo: ancora non riesco a trovare una soluzione.
problema con gli integrali risolto. Passiamo al n.2
Una massa m appesa a una molla di massa trascurabile con una forza di richiamo uguale a k, è agganciata alla carlinga di un aereo. Tenendo presente che, volando l'aereo orizzontalmente con un'accelerazione uniforme 1/2 g, la forza inerziale della massa fa tendere la molla, determinare: a) il lavoro compiuto dall'aereo sul sistema molla massa in t secondi; b) Il lavoro compiuto dall'aereo sulla sola molla. si trascurino le oscillazioni della molla.
Per come è dato il problema, l'accelerazione 1/2g è diretta orizzontalmente, quindi non ha a che fare con la forza di gravità (nonostante c'è la g). Mi sembra di capire che l'accelerazione dell'aereo causa un allungamento della molla, a causa della resistenza inerziale di m. Il lavoro sulla molla sarebbe quindi integrale da 0 a t di F(t)dl, con dl la derivata dell'equazione dell'allungamento della molla. Dalla legge di Hooke si ha dl = F/k.
La domanda è: cosa ci devo mettere al posto della F? Come posso calcolarmi la Forza? Devo metterci la forza di richiamo della molla o la forza dovuta all'accelerazione orizzontale? (sarebbe 1/2 mg)
Aggiunto 18 secondi più tardi:
...
Aggiunto 6 ore 59 minuti più tardi:
...
Una massa m appesa a una molla di massa trascurabile con una forza di richiamo uguale a k, è agganciata alla carlinga di un aereo. Tenendo presente che, volando l'aereo orizzontalmente con un'accelerazione uniforme 1/2 g, la forza inerziale della massa fa tendere la molla, determinare: a) il lavoro compiuto dall'aereo sul sistema molla massa in t secondi; b) Il lavoro compiuto dall'aereo sulla sola molla. si trascurino le oscillazioni della molla.
Per come è dato il problema, l'accelerazione 1/2g è diretta orizzontalmente, quindi non ha a che fare con la forza di gravità (nonostante c'è la g). Mi sembra di capire che l'accelerazione dell'aereo causa un allungamento della molla, a causa della resistenza inerziale di m. Il lavoro sulla molla sarebbe quindi integrale da 0 a t di F(t)dl, con dl la derivata dell'equazione dell'allungamento della molla. Dalla legge di Hooke si ha dl = F/k.
La domanda è: cosa ci devo mettere al posto della F? Come posso calcolarmi la Forza? Devo metterci la forza di richiamo della molla o la forza dovuta all'accelerazione orizzontale? (sarebbe 1/2 mg)
Aggiunto 18 secondi più tardi:
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Aggiunto 6 ore 59 minuti più tardi:
...
Stavo riflettendo su un fatto: sulla massa appesa alla molla agiscono tre forze.
La forza peso
La forza elastica
La forza di trascinamento dell'aereo
Credo che tu debba partire da queste.
La forza peso
[math]P=-mg\hat{j}[/math]
La forza elastica
[math]F=ky\hat{j}[/math]
(è positiva in quanto il righiamo avviene verso l'alto)La forza di trascinamento dell'aereo
[math]F=ma\hat{i}[/math]
Credo che tu debba partire da queste.
L?allungamento non dovrebbe essere perfettamente verticale...l'accelerazione orizzontale 1/2g dovrebbe far "allungare" la molla in senso obliquo...il problema diventerebbe dunque calcolarci questo misterioso allungamento
# Newton_1372 :
L?allungamento non dovrebbe essere perfettamente verticale...l'accelerazione orizzontale 1/2g dovrebbe far "allungare" la molla in senso obliquo...il problema diventerebbe dunque calcolarci questo misterioso allungamento
L'allungamento è obliquo: devi sommare vettorialmente le forze!
Allora. Ho presupposto che
e che
Aggiunto 5 minuti più tardi:
la determinazione di Fy mi sembra più difficile. Essa è una forza prettamente variabile, in quanto dipende SOLO dalla forza di reazione della molla data dalle legge di Hooke. QUindi dovrei fare:
Aggiunto 5 minuti più tardi:
la molla si allunga con moto accelerato; quindi dovrebbe valere la relazione
sostituendo
Aggiunto 5 minuti più tardi:
iL PROBLEMA è che il risultato dovrebbe venire
Aggiunto 12 secondi più tardi:
.
[math]W_{tot}=W_x+W_y[/math]
e che
[math]W_x=\int_{0}^t F_xdxdt \int_{0}^t \frac{1}{2}mgD(\frac{1}{4}gt^2)=\\=\int_{0}^t \frac{1}{2}mg\frac{1}{2}gt =\int_{0}^t\frac{1}{4}mg^2t = \frac{1}{8}mg^2t^2[/math]
Aggiunto 5 minuti più tardi:
la determinazione di Fy mi sembra più difficile. Essa è una forza prettamente variabile, in quanto dipende SOLO dalla forza di reazione della molla data dalle legge di Hooke. QUindi dovrei fare:
[math]W_y=\int_{0}^{t}F_ydydt=\int_{0}^{t}(ky-mg)dy=\int_{0}^{t}kydy-mgdy [/math]
Aggiunto 5 minuti più tardi:
la molla si allunga con moto accelerato; quindi dovrebbe valere la relazione
[math]y=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}gt^2[/math]
sostituendo
[math] Wy=\int_{0}^t k\frac{1}{2}gt^2gt-mg^2t=\int_{0}^t \frac{1}{2}kg^2t^3-mg^2t[/math]
Aggiunto 5 minuti più tardi:
iL PROBLEMA è che il risultato dovrebbe venire
[math]\frac{1}{8k}mg^2t^2[/math]
, e solo il W_x sembra avvicinarsi fin troppo al risultato...non riesco a capire che ho combinatoAggiunto 12 secondi più tardi:
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