Problemi sui triangoli

[LucaMos1]

Mi scuso per il disturbo, sto ripassando per il test di ingresso e ho dubbi su cose banalissime (che però non ricordo assolutamente)
Nel libro di testo ci sono le seguenti domande:

Sia $ABC$ un triangolo rettangolo, di lati $3$, $4$, $5$:

[*:11uei5u6]Quanto vale il seno dell'angolo tra i lati di lunghezza $3$ e $4$?[/*:m:11uei5u6]
[*:11uei5u6]Quanto vale il coseno dell'angolo tra i lati di lunghezza $4$ e $5$?[/*:m:11uei5u6]
[*:11uei5u6]Quanto vale la tangente dell'angolo tra i lati di lunghezza $3$ e $5$?[/*:m:11uei5u6][/list:u:11uei5u6]
Le misure deli angoli tra i lati di lunghezza $4$ e $5$ e tra quelli di lunghezza $3$ e $5$ possono essere dedotte ricorrendo a:

[*:11uei5u6]goniometro[/*:m:11uei5u6]
[*:11uei5u6]calcolatrice[/*:m:11uei5u6]
[*:11uei5u6]teoremi sui triangoli[/*:m:11uei5u6][/list:u:11uei5u6]
Se tutte le domande precedenti fossero rivolte analogamente al caso di un triangolo di lati $15$, $20$, $25$ le risposte sarebbero cambiate?
In un triangolo si hanno $3$ lati e $3$ angoli: quali delle due terne determina l'altra?
Come può essere fatto un triangolo che abbia i lati $1$, $2$ e $3$?
E come può essere fatto un triangolo che abbia gli angoli $a, 2a, 3a$

Patendo dalla prima domanda.
L'ipotenusa deve per forza di cose essere il lato con lunghezza $5$, mentre gli altri due sono i cateti.
La prima domanda mi chiede:

Quanto vale il seno dell'angolo tra i lati di lunghezza $3$ e $4$?

L'angolo compreso fra i due cateti è di $90°$, quindi $sen(90°)=1$

Quanto vale il coseno dell'angolo tra i lati di lunghezza $4$ e $5$?

Dalla definizione di coseno, è uguale al rapporto fra il lato adiacente all'angolo e l'ipotenusa.
$cos(a)=4/5 -> arccos(4/5) = 36.8$

Quanto vale la tangente dell'angolo tra i lati di lunghezza $3$ e $5$?

Anche quì, partendo dalla definizione di seno e coseno:
$tana=sena/cosa=(4/5)/(3/5)=4/3 -> arctana( 4/3)=53,1$
--
E fino a quì penso di esserci.
Poi però mi dice che è possibile calcolare questi angoli in tre differenti modi: goniometro (e ok), calcolatrice ( come ho fatto io), teoremi sui triangoli.
Non ho idea di come calcolare tali angoli applicando i teoremi sui triangoli
E penso sia abbastanza grave come cosa... Anche perchè al test non potremo usare calcolatrici...

La domanda successiva:

Se tutte le domande precedenti fossero rivolte analogamente al caso di un triangolo di lati $15$, $20$, $25$ le risposte sarebbero cambiate?

Direi di no, visto che la proporzione è mantenuta, e sono triangoli simili.
Alle ultime tredomande:

In un triangolo si hanno $3$ lati e $3$ angoli: quali delle due terne determina l'altra?
Come può essere fatto un triangolo che abbia i lati $1$, $2$ e $3$?
E come può essere fatto un triangolo che abbia gli angoli $a, 2a, 3a$

Non ho idea di come rispondere
Cioè, alla penultima direi scaleno, ma ...
Grazie mille

[chiaraotta1]

Per le ultime tre domande:
In un triangolo si hanno $3$ lati e $3$ angoli: quali delle due terne determina l'altra?
Dati i $3$ lati opportuni (ogni lato deve essere minore della somma degli altri due e maggiore della differenza) è possibile determinare i $3$ angoli. Invece dati $3$ angoli (la cui somma sia uguale a un angolo piatto) si ha tutta una famiglia di triangoli simili.
Come può essere fatto un triangolo che abbia i lati $ 1 $, $ 2 $ e $ 3 $?
Solo un triangolo degenere con i tre vertici allineati: es $AB=1$, $BC=2$ e $AC=3$.
E come può essere fatto un triangolo che abbia gli angoli $a, 2a, 3a$
Poiché la somma deve essere un angolo piatto, si deve avere $a+2a+3a=180°$, da cui $6a=180°$ e quindi $a=30°$, $2a=60°$ e $3a=90°$. Il triangolo in questione è metà triangolo equilatero.

[@melia]

In effetti per trovare le misure degli angoli hai applicato per prima cosa i teoremi sui triangoli ottenendo $ arccos (4/5)$, ecc. e poi la calcolatrice per ottenere il valore dell'angolo in gradi.
Un triangolo con lati 1, 2 e 3 non è un triangolo ma un segmento: il lato lungo è la somma degli altri due.

[LucaMos1]

"chiaraotta":Per le ultime tre domande:
In un triangolo si hanno $3$ lati e $3$ angoli: quali delle due terne determina l'altra?
Dati i $3$ lati opportuni (ogni lato deve essere minore della somma degli altri due e maggiore della differenza) è possibile determinare i $3$ angoli. Invece dati $3$ angoli (la cui somma sia uguale a un angolo piatto) si ha tutta una famiglia di triangoli simili.

Come può essere fatto un triangolo che abbia i lati $ 1 $, $ 2 $ e $ 3 $?
Solo un triangolo degenere con i tre vertici allineati: es $AB=1$, $BC=2$ e $AC=3$.

E come può essere fatto un triangolo che abbia gli angoli $a, 2a, 3a$
Poiché la somma deve essere un angolo piatto, si deve avere $a+2a+3a=180°$, da cui $6a=180°$ e quindi $a=30°$, $2a=60°$ e $3a=90°$. Il triangolo in questione è metà triangolo equilatero.

Grazie mille delle spiegazioni, sei stata chiarissima

"@melia":In effetti per trovare le misure degli angoli hai applicato per prima cosa i teoremi sui triangoli ottenendo $ arccos(4/5)$, ecc. e poi la calcolatrice per ottenere il valore dell'angolo in gradi.

Un triangolo con lati 1, 2 e 3 non è un triangolo ma un segmento: il lato lungo è la somma degli altri due.

Quindi, in pratica, non ci sono metodi alternativi che non richiedono l'uso della calcolatrice, per il calcolo di tali angoli?

Grazie mille

[@melia]

Veramente, per me, $arc cos (4/5)$ è una soluzione calcolata a tutti gli effetti, e quindi senza l'uso della calcolatrice.

[LucaMos1]

"@melia":Veramente, per me, $arc cos (4/5)$ è una soluzione calcolata a tutti gli effetti, e quindi senza l'uso della calcolatrice.

Ora ho capito, grazie