Problemi sui tiangoli rettangoli
Salve!
Vi ringrazio per i precedenti aiuti!
Questa volta mi assillano dei problemi sui triangli rettangoli: ho provato di risolverli in diversi modi, anche con equazioni di secondo grado (vengono equazioni impossibili) ma... niente!
In un triangolo rettangolo il cateto minore è 90 cm, la sua proiezione sull'ipotenusa è 9/25 della stessa ipotenusa. Determinare il perimetro e l'area del triangolo. [360cm; 5400cm²]
In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 45 cm e la sua proiezione sull'ipotenusa è i 9/16 della proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa. Trovare perimetro ed area del triangolo. [180cm; 1350cm²]
Sicuro in vostro aiuto,
vi ringrazio anticipatamente!
Ciao ciao
Vi ringrazio per i precedenti aiuti!
Questa volta mi assillano dei problemi sui triangli rettangoli: ho provato di risolverli in diversi modi, anche con equazioni di secondo grado (vengono equazioni impossibili) ma... niente!
In un triangolo rettangolo il cateto minore è 90 cm, la sua proiezione sull'ipotenusa è 9/25 della stessa ipotenusa. Determinare il perimetro e l'area del triangolo. [360cm; 5400cm²]
In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 45 cm e la sua proiezione sull'ipotenusa è i 9/16 della proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa. Trovare perimetro ed area del triangolo. [180cm; 1350cm²]
Sicuro in vostro aiuto,
vi ringrazio anticipatamente!
Ciao ciao
Risposte
Ciao Duch!
Per il primo problema basta usare il primo teorema di Euclide.
Infatti in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.
AB=cateto minore
BC=cateto maggiore
AC=ipotenusa
AH=proiezione di AB su AC
HC=proiezione di BC su AC
BH=altezza relativa all'ipotenusa
AB=90 cm
AH=9/25AC
AC:AB:=AB:9/25AC
AC:90cm=90cm:9/25AC
Per la proprietà fondamentale delle proporzioni
AC*9/25AC=8100cm^2
divido entrambi i membri per 9/25 e ottengo
AC^2=22500cm^2
AC=150cm
BC=sqrt(AC^2-AB^2)=sqrt((150cm)^2-(90cm)^2)=
=sqrt(22500cm^2-8100cm^2)=sqrt(14400cm^2)=120cm
P=AB+BC+CD=90cm+120cm+150cm=360cm
A=AB*BC/2=90cm*120cm/2=5400cm^2
Giovanni.
Modificato da - Giovanni il 16/11/2003 18:19:01
Per il primo problema basta usare il primo teorema di Euclide.
Infatti in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.
AB=cateto minore
BC=cateto maggiore
AC=ipotenusa
AH=proiezione di AB su AC
HC=proiezione di BC su AC
BH=altezza relativa all'ipotenusa
AB=90 cm
AH=9/25AC
AC:AB:=AB:9/25AC
AC:90cm=90cm:9/25AC
Per la proprietà fondamentale delle proporzioni
AC*9/25AC=8100cm^2
divido entrambi i membri per 9/25 e ottengo
AC^2=22500cm^2
AC=150cm
BC=sqrt(AC^2-AB^2)=sqrt((150cm)^2-(90cm)^2)=
=sqrt(22500cm^2-8100cm^2)=sqrt(14400cm^2)=120cm
P=AB+BC+CD=90cm+120cm+150cm=360cm
A=AB*BC/2=90cm*120cm/2=5400cm^2
Giovanni.
Modificato da - Giovanni il 16/11/2003 18:19:01
Grazie Giovanni!
Finalmente l'ho capito!
Dai, ora fammi capire anche il secondo!
Finalmente l'ho capito!
Dai, ora fammi capire anche il secondo!
Il secondo è molto simile al primo però si risolve anche con il secondo teorema di Euclide per il quale l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Come figura uso quella del primo problema.
Sapendo che:
AB=45cm
AH=9/16HC
Per il teorema di Pitagora
BH=sqrt(AB^2-AH^2)=sqrt((45cm)^2-(9/16HC)^2)=
=sqrt(2025cm^2-81/256HC^2)
Adesso applico il secondo teorema di Euclide:
AH:BH=BH:HC
9/16HC:sqrt(2025cm^2-81/256HC^2)=sqrt(2025cm^2-81/256HC^2):HC
Per la proprietà fondamentale delle proporzioni:
sqrt(2025cm^2-81/256HC^2)*sqrt(2025cm^2-81/256HC^2)=9/16HC*HC
2025cm^2-81/256HC^2=9/16HC^2
2025cm^2=81/256HC^2+9/16HC^2
144HC^2+81HC^2=518400cm^2
255HC^2=518400cm^2
HC^2=2304cm^2
HC=48cm
AH=9/16HC=9/16*48cm=27cm
Per il primo teorema di Euclide (usato per il primo problema):
AC:AB=AB:AH
AC:45cm=45cm:27cm
AC=45cm*45cm/27cm=75cm
BC=sqrt(AC^2-AB^2)=sqrt((75cm)^2-(45cm)^2)=
=sqrt(5625cm^2-2025cm^2)=sqrt(3600cm^2)=60cm
P=AB+BC+AC=45cm+60cm+75cm=180cm
A=AB*BC/2=45cm*60cm/2=1350cm^2
Ciao.
Giovanni.
Modificato da - Giovanni il 16/11/2003 19:06:18
Come figura uso quella del primo problema.
Sapendo che:
AB=45cm
AH=9/16HC
Per il teorema di Pitagora
BH=sqrt(AB^2-AH^2)=sqrt((45cm)^2-(9/16HC)^2)=
=sqrt(2025cm^2-81/256HC^2)
Adesso applico il secondo teorema di Euclide:
AH:BH=BH:HC
9/16HC:sqrt(2025cm^2-81/256HC^2)=sqrt(2025cm^2-81/256HC^2):HC
Per la proprietà fondamentale delle proporzioni:
sqrt(2025cm^2-81/256HC^2)*sqrt(2025cm^2-81/256HC^2)=9/16HC*HC
2025cm^2-81/256HC^2=9/16HC^2
2025cm^2=81/256HC^2+9/16HC^2
144HC^2+81HC^2=518400cm^2
255HC^2=518400cm^2
HC^2=2304cm^2
HC=48cm
AH=9/16HC=9/16*48cm=27cm
Per il primo teorema di Euclide (usato per il primo problema):
AC:AB=AB:AH
AC:45cm=45cm:27cm
AC=45cm*45cm/27cm=75cm
BC=sqrt(AC^2-AB^2)=sqrt((75cm)^2-(45cm)^2)=
=sqrt(5625cm^2-2025cm^2)=sqrt(3600cm^2)=60cm
P=AB+BC+AC=45cm+60cm+75cm=180cm
A=AB*BC/2=45cm*60cm/2=1350cm^2
Ciao.
Giovanni.
Modificato da - Giovanni il 16/11/2003 19:06:18
Mi permetto di darti un consiglio Duch: quando hai a che fare con i triangoli (ma anche con qualsiasi problema di geometria) cerca come prima cosa le similitudini, così da poter dire quali angoli sono uguali e quali triangoli sono simili. Ad esempio nella figura di Giovanni i triangoli ACH, ABC e BCH sono tutti simili. Questo ti aiuta a trovare la soluzione, come ha fatto Giovanni.
WonderP.
WonderP.
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