Problemi sui luoghi geometrici (70155)

[circe]

Mi potreste spiegare come risolvere questi problemi??

1)dati i punti A(0,0) e B (0, -8), sia p la parabola passante per A, B con vertice di ascissa 4. determinare l'equazione del luogo descritto dai punti medi delle corde intercettate su p dalle rette del fascio di centro A.

2)scrivere l'equazione del luogo descritto dai punti medi delle corde staccate su I: y= 1+4/x dalle rette del fascio di centro A (-1,-3).


grazie mille in anticipo

Aggiunto 6 ore 43 minuti più tardi:

grazie mille!!! ho capito come risolverli!!!

[BIT5]

La parabola passa per due punti con stessa ascissa pertanto e' della forma

[math] x=ay^2+by+c [/math]

-) passa per A

[math] 0=a0^2+b0+c \to c=0 [/math]

-) Passa per B

[math] 0=64a-8b \to b=8a [/math]

e che ha ascissa del vertice = 4

[math] - \frac{\Delta}{4a}=4 \to - \frac{b^2-4ac}{4a}=4 [/math]

c=0, b=8a quindi

[math] - \frac{64a^2}{4a}=4 \to -16a=4 \to a=- \frac14 [/math]

e quindi

[math] b=8a \to b=-2 [/math]

La parabola sara'

[math] x=- \frac14y^2-2y [/math]

Troviamo le rette del fascio passante per A

[math] y-y_A=m(x-x_A) \to y=mx [/math]

E troviamo le intersezioni con la parabola

[math] \{y=mx \\ x=- \frac14y^2-2y [/math]

ovvero

[math] x=- \frac14m^2x^2-2mx \to \frac14m^2x^2+(2m+1)x=0 [/math]

ovvero

[math] x \( \frac14m^2x + 2m+1 \)=0 [/math]

e quindi

[math] x_1=0 \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{-4(2m+1)}{m^2} [/math]

e pertanto (sostituendo alla retta del fascio) troviamo la y:

[math] y_1=0 \ \ \ \ \ y_2=\no{m} \frac{-4(2m+1)}{m^{\no{2}}} [/math]

Il punto medio avra':

[math] x_M= \frac{0+ \frac{-4(2m+1)}{m^2}}{2} =\frac{-4m-2}{m^2} [/math]

[math] y_M= \frac{-4m-2}{m} [/math]

dalla seconda ricaviamo m in funzione di y

[math] y_M= \frac{-4m}{m} - \frac{2}{m} \to y_M=-4- \frac{2}{m} \to \frac{2}{m}=-y_M-4 \to \\ \\ \\ m= \frac{-2}{y_M+4} [/math]

che andremo a sostituire in x_M

[math] x_M= \frac{-4 \(\frac{-2}{y_M+4} \) -2 }{ \(\frac{-2}{y_M+4} \)^2} [/math]

ovvero

[math] x_M= \frac{ \frac{8 -2y_M-8}{\no{y_M+4}}}{\frac{4}{(y_M+4)^{\no{2}}} [/math]

e dunque

[math] x_M= \frac{-2y_M(y_M+4)}{4} = \frac{-y_M^2-4y_M}{2} = - \frac12y_M^2-2y_M [/math]

il luogo sara'

[math] x= - \frac12y^2-2y [/math]

che e' un'altra parabola

Spero di non aver fatto errori di conto ;)