Problemi sui limiti
Ciao a tutti!!
Ho un compito in classe su problemi di questo tipo ,che non sono in grado di svolgere, non c'è qualcuno che ha voglia e tempo di provare a risolvermi questo in modo che sulla base di questo riesco ad avere un idea sullo svolgimento.
Problema:
Determinare l'equazione della parabola P con asse parallelo all'asse y, passante per A (0;4) e avente nel punto di ascissa 3 per tangente la retta di equazione Y=2x-5. Considerare sull'asse di simmetria di P un punto R di ordinata t e calcolare il lim di t che tende a più infinito per (RO - [laradice di 17]*RH), essendo Rh la distanza di R dalla retta tangente in A alla parabola ed RO la distanza di R dall'origine degli assi.
Scusatemi ma non so scrivere corretamente la radice di 17 o il segno del limite. SPero che qualcuno riesce a darmi una mano comunque.
GRazie
Ho un compito in classe su problemi di questo tipo ,che non sono in grado di svolgere, non c'è qualcuno che ha voglia e tempo di provare a risolvermi questo in modo che sulla base di questo riesco ad avere un idea sullo svolgimento.
Problema:
Determinare l'equazione della parabola P con asse parallelo all'asse y, passante per A (0;4) e avente nel punto di ascissa 3 per tangente la retta di equazione Y=2x-5. Considerare sull'asse di simmetria di P un punto R di ordinata t e calcolare il lim di t che tende a più infinito per (RO - [laradice di 17]*RH), essendo Rh la distanza di R dalla retta tangente in A alla parabola ed RO la distanza di R dall'origine degli assi.
Scusatemi ma non so scrivere corretamente la radice di 17 o il segno del limite. SPero che qualcuno riesce a darmi una mano comunque.
GRazie
Risposte
Se conosci i limiti allora presumo tu conosca anche le derivate (di solito si fanno prima di maggio a scuola...).
Quindi non dovresti avere problemi particolari a trovare l'equazione di P. D'altra parte immagino che se tu non avessi avuto problemi a trovarla non avresti richiesto aiuto anche per questo
, quindi...
Trovo l'equazione di P. Sappiamo che P ha equazione del tipo $y=ax^2+bx+c$. Poiché passa da A=(0,4) sappiamo pure che c=4. Quindi l'equazione è della forma
$y=ax^2+bx+4$
La retta tangente in x=3 ha coefficiente angolare 2. Ma il coefficiente angolare della retta tangente in 3 è esattamente la derivata in 3, quindi se sostituisci x=3 a $2ax+b=2$ hai un'identità. Ottieni allora $6a+b=2$, ovvero $b=2-6a$. Quindi l'equazione di P diventa
$y=ax^2+(2-6a)x+4$
Ora sappiamo che il punto di tangenza di y=2x-5 appartiene alla parabola, quindi che il punto (3,1) appartiene alla parabola. Otteniamo allora $1=9a+3b+4=9a+3(2-6a)+4=-9a+10$, da cui $a=1$. Quindi finalmente la parabola ha equazione
$y=x^2-4x+4 = (x-2)^2$
In particolare l'asse di simmetria è la retta di equazione $x=2$.
Il resto. Abbiamo allora visto che l'asse di simmetria è x=2, quindi $R=(2,t)$. La retta tangente a P in $A=(0,4)$ è (facile applicazione delle derivate) $y=-4x+4$, ovvero, volendola nella forma $ax+by+c=0$, abbiamo $4x+y-4=0$. Quindi la distanza di R da tale retta è (uso la formula $|ax_0+by_0+c|/(a^2+b^2)$) $|t+4|/(sqrt{17})$. Inoltre la distanza di R dall'origine è $RO=sqrt{t^2+4}$. Quindi quello che devi calcolare è
$lim_{t to +oo} (sqrt{t^2+4}-sqrt{17}|t+4|/(sqrt{17})) = lim_{t to +oo} (sqrt{t^2+4}-(t+4))$.
Ed ora si tratta solo di calcolare tale limite.
Quindi non dovresti avere problemi particolari a trovare l'equazione di P. D'altra parte immagino che se tu non avessi avuto problemi a trovarla non avresti richiesto aiuto anche per questo
, quindi...Trovo l'equazione di P. Sappiamo che P ha equazione del tipo $y=ax^2+bx+c$. Poiché passa da A=(0,4) sappiamo pure che c=4. Quindi l'equazione è della forma
$y=ax^2+bx+4$
La retta tangente in x=3 ha coefficiente angolare 2. Ma il coefficiente angolare della retta tangente in 3 è esattamente la derivata in 3, quindi se sostituisci x=3 a $2ax+b=2$ hai un'identità. Ottieni allora $6a+b=2$, ovvero $b=2-6a$. Quindi l'equazione di P diventa
$y=ax^2+(2-6a)x+4$
Ora sappiamo che il punto di tangenza di y=2x-5 appartiene alla parabola, quindi che il punto (3,1) appartiene alla parabola. Otteniamo allora $1=9a+3b+4=9a+3(2-6a)+4=-9a+10$, da cui $a=1$. Quindi finalmente la parabola ha equazione
$y=x^2-4x+4 = (x-2)^2$
In particolare l'asse di simmetria è la retta di equazione $x=2$.
Il resto. Abbiamo allora visto che l'asse di simmetria è x=2, quindi $R=(2,t)$. La retta tangente a P in $A=(0,4)$ è (facile applicazione delle derivate) $y=-4x+4$, ovvero, volendola nella forma $ax+by+c=0$, abbiamo $4x+y-4=0$. Quindi la distanza di R da tale retta è (uso la formula $|ax_0+by_0+c|/(a^2+b^2)$) $|t+4|/(sqrt{17})$. Inoltre la distanza di R dall'origine è $RO=sqrt{t^2+4}$. Quindi quello che devi calcolare è
$lim_{t to +oo} (sqrt{t^2+4}-sqrt{17}|t+4|/(sqrt{17})) = lim_{t to +oo} (sqrt{t^2+4}-(t+4))$.
Ed ora si tratta solo di calcolare tale limite.
Grazie mille, per l'aiuto!
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