Problemi su rette del piano cartesiano e funzioni
Salve a tutti, qualcuno mi potrebbe aiutare con questi problemi di geomteria analitica?
1) Determina un punto C sull'asse y che formi con A(-4,1) e B(2,1) un triangolo ABC con area 2. S: C1(0,1/3) C2(0,5/3).
Allora io ho pensato che qui, siccome C si trova sull'asse y, vuol dire che ha coordinate (0,y), ma dopo non so come andare avanti.
2) Determina per quali valori di k il grafico della funzione y= 2x-k+3 interseca gli assi cartesiani in due punti A e B, tali che il baricentro del triangolo AOB abbia ascissa che superi di 1 l'ordinata (essendo O l'origine degli assi). S: k=5.
Qui invece non ho ben capito come si ricava k.
3) Traccia i grafici delle funzioni y= -2x e y= x+4. Determina l'area del triangolo che ha come vertici il loro punto di intersezione P e i punti di intersezione A e B dei grafici delledue funzioni con l'asse x. S: A=16/3
Qui dal disegno ho tracciato i due garfici e ho trovato le coordinate dei punti di intersezione A(0,4) e B(0,0). Poi P è il punto di intersezione delle due rette e in questo caso devo calcolare l'area del triangolo. Non ho capito come si fa a calcolare l'altezza (vistoche l'area del triangolo è base per altezza diviso 2).
1) Determina un punto C sull'asse y che formi con A(-4,1) e B(2,1) un triangolo ABC con area 2. S: C1(0,1/3) C2(0,5/3).
Allora io ho pensato che qui, siccome C si trova sull'asse y, vuol dire che ha coordinate (0,y), ma dopo non so come andare avanti.
2) Determina per quali valori di k il grafico della funzione y= 2x-k+3 interseca gli assi cartesiani in due punti A e B, tali che il baricentro del triangolo AOB abbia ascissa che superi di 1 l'ordinata (essendo O l'origine degli assi). S: k=5.
Qui invece non ho ben capito come si ricava k.
3) Traccia i grafici delle funzioni y= -2x e y= x+4. Determina l'area del triangolo che ha come vertici il loro punto di intersezione P e i punti di intersezione A e B dei grafici delledue funzioni con l'asse x. S: A=16/3
Qui dal disegno ho tracciato i due garfici e ho trovato le coordinate dei punti di intersezione A(0,4) e B(0,0). Poi P è il punto di intersezione delle due rette e in questo caso devo calcolare l'area del triangolo. Non ho capito come si fa a calcolare l'altezza (vistoche l'area del triangolo è base per altezza diviso 2).
Risposte
1) Come hai già fatto chiama il tuo punto $C=(0,y)$. Ora trova i tre lati del triangolo (2 dipenderanno da $y$) ed usando la formula di Erone trova l'area. Imponila uguale a 2 e trova $y$ risolvendo l'equazione. Alternativa: trova l'equazione della retta passante per $A$ e $B$, poi trova la distanza tra $C$ e questa retta. Essa sarà l'altezza del triangolo. Trova il lato $AB$ e poi finisci.
2) Il baricentro di un triangolo ha coordinate $((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A+y_B+y_C)/3)$ (cioè la media delle coordinate dei vertici).
3) I punti di intersezione con l'asse $x$ sono $(0,0),(-4,0)$, hai sbagliato. Puoi usare la formula di Erone oppure fare il gioco con la retta come in 1).
Se hai ulteriori difficoltà posta i tuoi progressi e vediamo.
Paola
2) Il baricentro di un triangolo ha coordinate $((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A+y_B+y_C)/3)$ (cioè la media delle coordinate dei vertici).
3) I punti di intersezione con l'asse $x$ sono $(0,0),(-4,0)$, hai sbagliato. Puoi usare la formula di Erone oppure fare il gioco con la retta come in 1).
Se hai ulteriori difficoltà posta i tuoi progressi e vediamo.
Paola
1) In questo caso, come anche nel 3° esercizio, due vertici del triangolo hanno la stessa ordinata. Allora c'è una strategia molto semplice per risolvere il problema.
Se consideri $AB$ di lunghezza $bar(AB)=6$ come base del triangolo, dall'area $S$ puoi calcolare immediatamente l'altezza $h$ del triangolo relativa ad $AB$:
$S=1/2*bar(AB)*h->h=2*S/bar(AB)=2*2/6=2/3$.
Allora il terzo vertice del triangolo sta sull'asse $y$ in un punto che ha ordinata maggiore o minore di $h$ rispetto a quella ($1$) comune ai punti $A$ e $B$. Cioè $y_C=1+-2/3$.
Pertanto i due punti sono $C_1(0, 1/3)$ e $C_2(0, 5/3)$.
Se consideri $AB$ di lunghezza $bar(AB)=6$ come base del triangolo, dall'area $S$ puoi calcolare immediatamente l'altezza $h$ del triangolo relativa ad $AB$:
$S=1/2*bar(AB)*h->h=2*S/bar(AB)=2*2/6=2/3$.
Allora il terzo vertice del triangolo sta sull'asse $y$ in un punto che ha ordinata maggiore o minore di $h$ rispetto a quella ($1$) comune ai punti $A$ e $B$. Cioè $y_C=1+-2/3$.
Pertanto i due punti sono $C_1(0, 1/3)$ e $C_2(0, 5/3)$.
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