Problemi su integrali definiti

[fenice98]

Buonasera,
Volevo chiedere se potete aiutarmi a risolvere questi esercizi.
Vi allego copia.
Grazie in anticipo.

[mc2]

1)

Bisogna integrare per parti due volte:

[math]\int e^{2x}\cos xdx=\int e^{2x}d[\sin x]=\\
\sin x e^{2x}-2\int \sin x e^{2x}dx=\\
\sin x e^{2x}+2\int e^{2x}d[\cos x]=\\
\sin x e^{2x}+2\cos x e^{2x}-4\int e^{2x}\cos xdx
[/math]

Nell'ultimo membro ricompare l'integrale di partenza: bisogna portarlo a primo membro

[math]\int e^{2x}\cos xdx=\sin x e^{2x}+2\cos x e^{2x}-4\int e^{2x}\cos xdx\\
\int e^{2x}\cos xdx+4\int e^{2x}\cos xdx=\sin x e^{2x}+2\cos x e^{2x}\\
5\int e^{2x}\cos xdx=\sin x e^{2x}+2\cos x e^{2x}\\
\int e^{2x}\cos xdx=\frac{1}{5}e^{2x}(\sin x +2\cos x)
[/math]

2)

Per prima cosa bisogna disegnare il grafico delle due curve: sono due parabole, la prima con asse orizzontale, la seconda con asse verticale.

Bisogna trovare le intersezioni delle due curve:

[math]\left\{\begin{array}{l} y^2=2x \\ y=\frac{1}{2}x^2\end{array}\right.\\
\frac{1}{4}x^4=2x\\
x(x^3-8)=0\\
x=0~~\mbox{e}~~ x=2
[/math]

Calcolo del volume:

[math]V=\pi\int_0^2(y_1^2-y_2^2)dx=\pi\int_0^2(2x-\frac{1}{4}x^4)dx=\dots[/math]

Aggiunto 1 minuto più tardi:

3)

[math]V=\pi\int_0^{+\infty}y^2dx=\pi\int_0^{+\infty}e^{-2x}dx=\dots[/math]