Problemi similitudine (83495)

[Alessio1996]

"In un rettangolo ABCD, AB=10 cm e BC=5 cm. Una retta r passante per B ed esterna al rettangolo è tale che dette A' e C' le proiezioni di A e C su r, risulta A'C'=10cm. determina la distanza di A da r"

[bimbozza]

A'B=x
BC'=10-x

[math]AA'= \sqrt{100-x^2} [/math]

[math]CC'= \sqrt{25-(10-x)^2}= \sqrt{-x^2+20x-75} [/math]

A'A:AB=C'C:BC

[math]\sqrt{100-x^2}:10=\sqrt{x^2+20x-75}:5[/math]

[math]\sqrt{100-x^2}=2\sqrt{x^2+20x-75}[/math]

[math]100-x^2=4(x^2+20x-75)[/math]

[math]3X^2-80X+400=0[/math]

che ha due soluzioni di cui, l'unica accettabile è 20/3 (20 non è accettabile perchè BC=10-x darebbe una misura negativa)

Adesso bisogna sostituire il valore trovato a AA' quindi

[math]AA'= \sqrt{100-x^2} = \sqrt{100-(20/3)^2}=10 \sqrt5/3[/math]

spero di non aver fatto errori di calcolo...^.^

[Alessio1996]

Grazie mille per lo sforzo,
anche a me viene x=20/3... ho fatto lo stesso tuo ragionamento uguale identico... ma il libro dà come soluzione 8 cm. o.O :!!! :puzzled :puzzled :puzzled :puzzled

[bimbozza]

oddio è veroooo. Ho invertito gli angoli, che figura! :$ asp che lo risvolgo:
A'B=x
BC'=10-x

[math]AA'= \sqrt{100-x^2}[/math]

A'A:AB=C'B:BC

[math]\sqrt{100-x^2}:10=(10-x):5[/math]

[math]\sqrt{100-x^2}=2(10-x)[/math]

[math]\sqrt{100-x^2}=20-2x[/math]

[math]100-x^2=400+4x^2-80x[/math]

[math]5x^2-80x+500=0[/math]

[math]x^2-16x+100[/math]

che ha soluzioni 6 e 10
ovviamente 10 non può essere perchè l'altro segmento sennò sarebbe 0

quindi

[math]AA'= \sqrt{100-x^2}= \sqrt{100-6^2}=8[/math]

scusa ancora per l'errore madornale...