Problemi piano cartesiano

[chialex]

Ho bisogno di un grosso aiuto per risolvere questi tre problemi del piano cartesiano..ho sempre avuto problemi a svolgerli e avrei davvero bisogno di una mano perché non so da che parte iniziare..grazie mille a tutti :D

1) Scrivi l'equazione della retta a passante per il punto (1/3;-2) e parallela all'asse y e quella della retta b passante per (1;1) e di coefficiente angolare -2. Rappresenta graficamente le due rette e calcola la misura S dell'area del trapezio rettangolo che tali rette determinano con i ue assi cartesiani.

2) Di un parallelogramma ABCD si conoscono i vertici consecutivi A(1;1), B(5;2), C(3;4). Determina il quarto vertice D.

3) I lati di un triangolo giacciono sulle rette di equazioni y-3=0, x-2y+4=0, x-y-1=0. Calcola le coordinate dei vertici e la misura S dell'area del triangolo.

[Max 2433/BO]

1)
L'equazione generica della retta parallela all'asse y è:

[math] x = x_0 [/math]

dove

[math] x_0 \; [/math]

è la coordinata x del punto in cui passa la retta.

Quindi se il punto è (1/3; -2) il valore x è 1/3 per cui l'equazione della retta sarà:

x = 1/3

L'equazione della retta passante per il punto (1; 1) e con coefficiente angolare -2 si trova, invece applicando la formula:

[math] y - y_0 = m ( x - x_0) [/math]

dove

[math] x_0\;e\;y_0 \; [/math]

sono le coordinate del punto

e

m è il coefficiente angolare dato.

Quindi

y - 1 = -2(x - 1)

y = -2x + 3

Il trapezio rettangolo che queste due rette formano con gli assi cartesiani è determinato dai punti C, D, E, e F.

Per determinare l'area di questo trapezio dovrai trovare le misure delle due basi (DE e CF) e dell'altezza EF.

Il punto F giace sull'asse x e appartiene alla retta di equazione x = 1/3, per cui le sue coordinate saranno F = (1/3, 0), il punto E è l'origine degli assi cartesiani, per cui ha coordinate E = (0, 0).

Quindi, giacendo entrambi sull'asse x, il segmento EF equivarrà alla differenze (in modulo) delle coordiante x dei due punti E e F:

[math] EF = |x_F - x_E| = |1/3 - 0| = 1/3 [/math]

Il punto D è l'intersezione della retta y = -2x + 3 con l'asse y, per cui si trova ponendo uguale a 0 il valore di x nell'equazione della retta, da cui ricaviamo:

[math] y_D = -2\;.\;0 + 3 = + 3 [/math]

Giacendo sull'asse y le coordinate del punto D saranno, quindi D = (0, 3).

In questo caso, sia D che E giacciono sull'asse y, per cui il segmento DE equivarrà alla differenza (in modulo) delle coordinate y dei punti D e E:

[math] DE = |y_D - y_E| = |3 - 0| = 3 [/math]

Per trovare il punto C dobbiamo procedere come per il punto D solo che, in questo caso, nell'equazione della retta y = -2x + 3 dovremmo sostituire ad x il valore 1/3 che equivale alla retta parallela all'asse y, per cui:

[math] y_C = -2\;.\;1/3 + 3 = -2/3 + 3 = 7/3 [/math]

Ovviamente le coordinate x del punto C varranno 1/3.

Quindi C = (1/3, 7/3)

Giacendo i punti C e F sulla medesima retta di coordinate x = 1/3, la misura del segmento CF equivarrà alla differenza (in modulo) delle coordinate y di tali punti, per cui:

[math] CF = |y_C - y_F| = |7/3 - 0| = 7/3 [/math]

Adesso hai tutti i dati per calcolare l'area del tuo trapezio applicando la formula:

[math] S = \frac {(CF + DE)\;.\;EF }{2} [/math]

... ecco il primo.

:hi

Massimiliano

Aggiunto 21 minuti più tardi:

2)
Di questo ti indico il procedimento e i calcoli li provi a fare tu... ;)

Innanzi tutto devi trovare l'equazione delle rette passanti per i punti CB e AB.

Per fare questo devi applicare la seguente equazione, che rappresenta l'equazione della retta passante per due punti:

[math] \frac {y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac {x - x_1}{x_2 - x_1} [/math]

dove

[math] x_1 \;e\; y_1 \; [/math]

sono le coordinate di un punto

e

[math] x_2 \;e\; y_2 \; [/math]

sono le coordinate del secondo punto

Trovate le equazioni delle due rette passanti per i punti CB e AB, dovrai trovare le equazioni della retta passante per il punto A e parallela a quella passante per CB e quella passante per il punto C e parallela a quella passante per AB.

Quindi, considerando le tue equazioni che hai appena trovato, in questa forma:

retta CB

[math] y = m_{CB}x + q_{CB} [/math]

retta AB

[math] y = m_{AB}x + q_{AB} [/math]

la retta parallela a AB, passante per C avrà equazione

[math] y - y_C = m_{AB}(x - x_C) [/math]

mentre la retta parallela a CB, passante per A avrà equazione

[math] y - y_A = m_{CB}(x - x_A) [/math]

dove

[math] x_C \;e\; y_C \; [/math]

sono le coordinate del punto C

e

[math] x_A \;e\; y_A \; [/math]

sono le coordinate del punto A

A questo punto, per trovare le coordinate del punto D, ti basterà mettere a sistema queste due ultime equazioni che hai ricavato.

Per tuo controllo, con i dati del problema dovresti ottenere questi risultati:

retta passante per CB : y = -x + 7

retta passante per AB: y = (1/4)x + 3/4

retta parallela a AB: y = (1/4)x + 13/4

retta parallela a CB: y = -x + 2

coordinate D: (-1, 3)

:hi

Aggiunto 24 minuti più tardi:

3)
Innanzi tutto mettiamo le equazioni delle rette nella forma y = mx + q

a) y = 3

b) x - 2y + 4 = 0; y = (1/2)x + 2

c) x - y - 1 = 0; y = x - 1

Per trovare i vertici del tuo triangolo devi mettere le rette a, b, c a sistema a coppie: a con b, a con c e b con c.

In realtà essendo la retta a) y = 3, ti basta sostituire in b e c al posto di y il valore 3 per trovare le coordinate x dei due punti di intersezione con le rette b e c:

b) 3 = (1/2)x + 2

1 = (1/2)x

x = 2

quindi il punto B, intersezione tra a) e b) ha coordinate B = (2, 3)

c) 3 = x - 1

x = 4

quindi il punto C, intersezione tra a) e c) ha coordinate C = (4, 3)

Per trovare il punto A, invece, dovrai mettere a sistema le rette b) e c)

... se farai i calcoli per risolvere il sistema, otterrai le coordinate A = (6, 5)

A questo punto a mio parere ti conviene considerare come base il segmento BC, in quanto i punti B e C giacciono sulla medesima retta a), che risulta parallela all'asse x, per cui la lunghezza del segmento è semplicemente la differenza, in modulo, delle coordinate x di B e C:

[math] BC = |x_C - x_B| = |4 - 2| = 2 [/math]

Come altezza, invece, dovrai considerare la distanza del punto A dalla retta a).

Come già detto, la retta a) è parallela all'asse x, per cui la distanza tra il punto A e questa retta si limita ad una differenza, in modulo, tra le coordinate y del punto A e della retta a):

[math] AH = |y_A - 3| = |5 - 3| = 2 [/math]

Quindi l'area del tuo triangolo sarà:

[math] S = \frac {BC\;.\;AH}{2} [/math]

... ecco fatto, spero vada tutto bene.

Se hai dei dubbi spero di essere disponibile per chiarimenti domani.

:hi

Massimiliano