Problemi geometrici risolvibili algebricamente

[blumare1]

Salve, ho un dubbio sulle limitazioni da dare alla x nella seconda parte del problema in foto. Posto x = AF, sicuramente è compresa tra 0 e 14 (misura lato del quadrato ABCD), il mio dubbio è se sono obbligata a restringere le condizioni e a considerarla minore di 10 in quanto cateto del triangolo rettangolo AFE di ipotenusa 10 o se non c'è bisogno perché in un triangolo rettangolo il cateto sarà sempre minore dell'ipotenusa.

[Zero87]

"blumare":il mio dubbio è se sono obbligata a restringere le condizioni e a considerarla minore di 10 in quanto cateto del triangolo rettangolo AFE di ipotenusa 10 o se non c'è bisogno perché in un triangolo rettangolo il cateto sarà sempre minore dell'ipotenusa.

Non ne sono certo al 100% dopo una giornata lavorativa, ma credo proprio di sì.

[mgrau]

"blumare":il mio dubbio è se sono obbligata a restringere le condizioni e a considerarla minore di 10 in quanto cateto del triangolo rettangolo AFE di ipotenusa 10 o se non c'è bisogno perché in un triangolo rettangolo il cateto sarà sempre minore dell'ipotenusa.

Ma ti serve a qualcosa inserire queste condizioni? Non ti basta risolvere l'equazione $x^2 + (14-x)^2 = 10^2$ ?

[blumare1]

Visto che x è una parte del lato AB non è più completo imporre che sia minore di 14 piuttosto che pensarla solo maggiore di zero?

[mgrau]

x è quello che è, 6 oppure 8, mica segue le tue "imposizioni"...

[blumare1]

Il mio libro negli esempi svolti con problemi simili impone le limitazioni

[axpgn]

@mgrau
Può accadere (non è questo il caso) che un'equazione di secondo grado abbia soluzioni negative e questo non è compatibile con la lunghezza di un lato.
Ovvero quando applichi "formule" algebriche a casi reali, devi tener conto anche dei limiti che possono avere le soluzioni.
In questo caso, non mi preoccuperei troppo, l'importante è saperlo e tenerne conto.

[mgrau]

Certamente. Però mi sembra più sano prima trovare le soluzioni, e poi vedere se sono sensate

[@melia]

Comunque generalmente nella soluzione algebrica di problemi geometrici si pongono le condizioni sulla variabile. In questo caso $0<=x<=14$ è quella indispensabile, poi se vuole metterne una più restrittiva perché la deduce da altri dati, va anche meglio.

[axpgn]

"mgrau":Certamente. Però mi sembra più sano prima trovare le soluzioni, e poi vedere se sono sensate

Beh, matematicamente, di solito, funziona al contrario
Per esempio, prima di tutto trovi il dominio oppure metti a sistema l'equazione con i suoi vincoli.
Anche perché, talvolta, le costrizioni ti semplificano la vita.

[blumare1]

Grazie!

[giammaria2]

Il titolo mi ha fatto sorgere un'altra domanda: come si può risolvere il problema senza l'algebra? Evitiamo i numeri; la domanda è come costruire con la sola geometria la figura indicata conoscendo i lati dei quadrati, cioè $AB=a; FG=b$. Fissato $a$, che valori può avere $b$?
Sarebbe un quesito da "Scervelliamoci un po'" ma penso che possa anche stare qui perché è facile e nato qui.

Approfitto dell'occasione per dare il mio parere sulla domanda iniziale: hai posto $AF=x$ ed $AF$ può essere sia il cateto maggiore che quello minore, quindi può avere due valori diversi e la limitazione è $0<=x<=14$. Se invece tu avessi posto $"cateto minore"=x$ la limitazione sarebbe stata $0<=x<=7$.

[axpgn]

"giammaria":... la domanda è come costruire con la sola geometria la figura indicata conoscendo i lati dei quadrati, cioè $AB=a; FG=b$ ...

Per determinare $x=AF$, è possibile risolvere questa equazione $x^2+(a-x)^2=b^2=0$ che diventa $x^2-ax+(a^2-b^2)/2$ e nel nostro caso è $x^2-14x+48=0$

Per risolvere un'equazione di secondo grado così fatta $x^2-qx+p$ in modo geometrico, si può procedere così:

Tracciare un cerchio il cui diametro $MN$ unisca i punti $M(0,1)$ e $N(q,p)$
Le ascisse dell'intersezione tra cerchio e asse delle ascisse sono le soluzioni dell'equazione.

S.E. & O.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

@ axpgn
La tua risposta è giusta ma passa attraverso l'algebra, mentre avevo chiesto di usare solo la geometria. Comunque il problema è facile, al di sotto del tuo livello: meglio lasciarlo ad altri.
Se non risponde nessun altro, domani o dopodomani darò un suggerimento sulla soluzione che ho trovato io; scommetterei che non è l'unico metodo.

[mgrau]

Giusto perchè il problema è facile,....

Noto che i centri dei due quadrati coincidono. Allora, costruisco il segmento lungo $(FG)/sqrt(2)$ (il lato del quadrato con diagonale $FG$) Col compasso con questa apertura puntato nel centro interseco $AB$ nel punto $F$ e nel suo simmetrico rispetto al punto medio di $AB$

[axpgn]

@giammaria
No, è solo geometrica.

Ho scritto quella premessa algebrica solo per evidenziare il motivo per cui è possibile fare quella costruzione geometrica.
Ma quello che serve è solamente conoscere $q$ e $p$.
Abbiamo che $q=a$ mentre $p=(a^2-b^2)/2$; devo perciò fare dei conti? No, somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni si possono fare con riga e compasso, non devo certo spiegarlo a te.
Quindi, posso trovare $AF$ senza fare nessun conto e usare nessun numero, solo geometria.
È complicato? Sì, per me sì, non mi è venuto in mente niente di più facile; d'altronde, tu stesso hai detto che sarebbe un quesito da "Scervelliamoci un po' " … esistono soluzioni più semplici? Sicuramente ma io non le conosco …
La stessa risposta di mgrau è algebrica, apparentemente, dato che deve fare un calcolo.
Ma in realtà non è necessario farlo effettivamente.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

@ mgrau
La tua soluzione coincide con la mia, ma faccio due osservazioni.

1) Hai scritto "Noto che i centri dei due quadrati coincidono"; anch'io avevo fatto così, ma andrebbe dimostrato. Sapresti farlo?
2) Come sottolineato da axpgn, la $(FG)/sqrt(2)$ richiede un calcolo e aggiunge che "in realtà non è necessario farlo effettivamente"; tu dici che lo "costruisci". Come?

@axpgn
Dici il vero, ma continuo a pensare che sarebbe stato più elegante evitare ogni riferimento all'algebra, anche se non l'hai effettivamente usata.

[mgrau]

@giammaria

1) senza farla lunga, basta vedere che un quadrato si ottiene dall'altro per rotazione intorno al centro e dilatazione
2) traccio l'asse di FG, , dal punto medio M traccio un cerchio con apertura FM che interseca l'asse in H e K, $FH = (FG)/sqrt(2)$