Problemi geometrici e solidi.

[Marco241]

Sia P un punto qualunque del lato $ bar(AC)=a $ del triangolo equilatero ABC.Determinare la posizione di P in modo che sia k il rapporto tra i volumi dei solidi generati dai triangoli PBC e PAB in una rotazione completa rispettivamente attorno a BC e ad AB

SVOLGIMENTO:

$bar(AP)=x$

di conseguenza:

$0<=x<=a$

traccio l'altezza $bar(PD)$ rispetto alla base BC del triangolo PBC e l'altezza $bar(PE)$ rispetto alla base AB del triangolo APB.Adesso calcolo i volumi dei due coni generati dalla rotazione dei due triangoli PBD e PDC attorno a BC e li sommo.Considero poi i triangoli APE e PEB:sempre dalla loro rotazione attorno ad AB calcolo i volumi dei ultimi due coni e li sommo.

Infine il loro rapporto lo pongo uguale a k.

Il risultato del libro va da zero incluso a +infinito.

Io ottengo il risultato del libro con l'unica differenza che devo escludere dall'intervallo il valore +1.

Vediamo se non ci sono errori:

$bar(CD)=(a-x)/2$

$bar(PD)=(a-x)*sqrt(3)/2$

$bar(BD)=(a+x)/2$

$bar(PB)=sqrt(x^2-a*x+a^2)$

$bar(AE)=x/2$

$bar(PE)=x*sqrt(3)/2$

$bar(BE)=a-x/2$

l'equazione risolvente mi viene:

$x^2*(1-k)-2*a*x+a^2=0$

$0<=x<=a$

[giammaria2]

Per $k=1$ l'equazione diventa di primo grado ed ha una soluzione accettabile: perché vuoi escluderlo?
Un piccolo suggerimento per snellire i calcoli: il primo volume è dato da

$V_1=pi/3 PD^2*CD+pi/3 PD^2*DB=pi/3 PD^2(CD+DB)=pi/3 PD^2*CB$

quindi non è necessario calcolare CD e DB. Analogo ragionamento per l'altro volume.

[Marco241]

Ti spiego Giammaria, calcolando l'equazione risolvente mi viene

$x1=(a+a*sqrt(k))/(1-k)$


$x2=(a-a*sqrt(k))/(1-k)$


inserendo i valori trovati in

$0<=x<=a$

ottengo due sistemi di due disequazioni frazionarie e tu sai che il denominatore dev'essere strettamente maggiore di zero...cioè

$k>1$

[Marco241]

si però l'equazione di secondo grado diventa di primo per k=1 quindi non va escluso