Problemi Geometrici

[clarkk]

Ciao a tutti, vorrei sapere come posso risolvere questo problema:
E' data una semicirconferenza di diametro A'A=2 di centro O. Preso un punto M su di essa, la tangente in M incontra in B la tangente in A e in C la retta OC perpendicolare ad A'A. Calcola AB=x in modo che i ltrapezio OABC abbia un perimetro dato a.
Grazie.

[G.D.5]

Ti consiglio di introdurre un sistema di riferimento con origine in $O$, quindi di legare $AB=x$ con l'angolo $alpha=hat(AOB)$; poi di considerare $hat(COM)=beta=pi/2-2alpha$ e, al limite, introdurre un secondo riferimento.

[Sk_Anonymous]

La relazione da risolvere e':
(1) OC+BC+AB+OA=a
Essendo O punto medio di A'A,risulta che C e' punto medio di BD e quindi:
$OC=(AD+AB)/2=(DM+BM)/2=(BD)/2=BC$
Dunque: OC=BC
Poiche' OD e' la bisettrice dell'angolo (acuto) A'OM e OB e' la bisettrice dell'angolo (ottuso) MOA,
segue che OD e OB sono perpendicolari.
Pertanto ,per il 2° teorema di Euclide applicato a DOB, e' :
$OM^2=DM*BM $ ,da cui $AD=DM=(OM^2)/(BM)=1/x$
Segue che :
$BD=DM+BM =1/x+x=(x^2+1)/x$
e pertanto: $OC=BC=(BD)/2=(x^2+1)/(2x)$
La (1) diventa allora:
$(x^2+1)/(2x)+(x^2+1)/(2x)+x+1=a$ da cui scaturisce l'equazione risolvente:
$2x^2-(a-1)x+1=0$
da discutere rispetto al parametro a con la condizione $x>0$
karl
P.S.
La relazione $OC=(AD+AB)/2$ e' di carattere generale ed esprime il fatto che ,in
un qualsiasi trapezio ,il segmento che unisce i punti medi dei lati obliqui e' la semisomma
delle basi del trapezio.Lascio a voi la facile dimostrazione.

[clarkk]

Grazie mille