Problemi geometria euclidea

[sdonk]

Salve,
sto aiutando un amico a ripetere la geometria euclidea ma ho scoperto di essere un pochino arrugginito.
Potreste aiutarmi (magari solo un input così li risolvo da solo) con questi due problemi?



Dato il trapezio ABCD, circoscritto ad un cerchio, dimostrate che:

1) BOC è un triangolo rettangolo;
2) AB+DC = AD+BC

Essendo, poi: HB = 40 cm DH' = 15 cm H'C = 10 cm determinate:

3) il raggio OT

____________________________________________________________________________________________________

Con riferimento al trapezio ABCD si ha:
AB = 80 cm DC = 40 cm d(D,AB) = 30 cm (non capisco questo cosa indichi!)
Dimostrate che l'area AMD è la metà dell'area di ABCD.



Grazie!

[cozzataddeo]

Prima parte:
Gli angoli DCB e ABC sono...
Inoltre gli angoli DCO e BCO sono...
come pure gli angoli CBO e HBO.
Quindi BCO+CBO=... da cui la tesi.

Seconda parte
HB=BT perché...
e analoga considerazione per gli altri lati.
Allora le somme dei lati opposti sono composte da...

Nel problema numerico d(D, AB) credo indichi la distanza del punto D dalla base AB, ovverol'altezza del trapezio.

Possono bastare come suggerimenti?

[sdonk]

"Cozza Taddeo":
Possono bastare come suggerimenti?

Io sono giunto a questo ragionamento (in effetti era semplice )

Gli angoli DCB e ABC sono supplementari (questo non me lo ricordavo ma potevo arrivarci considerandoli come coniugati interni)
Gli angoli DCO e BCO uguali come pure CBO e HBO.
Quindi se la loro somma da 180°, la loro semisomma (BCO + CBO) da novanta gradi, per cui il terzo angolo (BOC) è retto e quindi il triangolo è rettangolo.
Applicando il secondo teorema di Talete è semplice calcolare il raggio TO considerandolo come l'altezza del triangolo COB.
Secondo quale teorema due tangenti ad una circonferenza sono uguali se nascono nello stesso punto, sul libro di testo (pessimo) non c'è?

Al secondo problema mi sono bloccato, immagino che sia necessario dimostrare che i due triangoli rosa sono congruenti ai due rispettivi triangoli bianchi (cioè NMD a MCD e NMA a MAB).
Ad esempio: DCM e DNM hanno in comune un lato (DM) e i due angoli alterni interni sono congruenti ma mi manca la terza condizione per dimostrare che sono congruenti (se lo dimostro in questo modo a che serve l'altezza?).
Grazie

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un fatto del tutto generale e non occorrono dati.
Dato che M ed N sono i punti medi dei lati obliqui e':
(1) $KM=MH=(KH)/2$
Pertanto risulta:
$S(AMD)=S(ABCD)-S(ABM)-S(CDM)$
Ovvero:
$S(AMD)=((AB+CD))/2*(KM+MH)-(AB*KM)/2-(CD*MH)/2=(AB*MH+CD*KM)/2$
E per la (1):
$S(AMD)=(AB+CD)/2*(KH)/2=1/2*((AB+CD)*KH)/2=1/2S(ABCD)$
q.e.d.
karl

[sdonk]

Grazie a tutti, dopo qualche decine di problemi mi sono un po' sciolto e riesco ad affrontarli meglio.
Mi sono bloccato su quest'ultimo:

In un triangolo ABC conduci le altezze AH, BK, CL e sia O il loro punto di intersezione; siano poi M e N le proiezioni del punto H si AB e su AC. Dimostra che i triangoli MNH e OLK sono simili e deduci da cio' che LK è parallelo a MN.