Problemi geometria analitica e disequazioni

[Dieguito901]

Ciao regà

Volevo chiedervi un aiuto sui seguenti quesiti:

1)Trova per quali valori di k l'equazione :




Rappresenta:

a) un'ellisse;
b) una circonferenza ;
c) un' iperbole
d) un'iperbole con i fuochi sull'assey;
e) un'iperbole con i fuochi sull'assey che ha distanza focale uguale a 4.

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2° QUESITO:

Stabilisci per quali valori di k l'equazione:



rappresenta:

a) un'ellisse;
b> una circonferenza;
e) un'iperbole;
ci) un'iperbole con i fuochi sull'asse x;
e) un'iperbole con i fuochi sull'asse y.

Dopo aver determinato le intersezioni A e B 13 della retta y = x - 3 con la parabola y = - x2 + 3x + 5. di vertice V, calcola l'area del triangolo ABV.

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3° quesito

Data la parabola di equazione y = - x^2 + 4x + 5, determina:

a) le intersezioni della parabola con la retta dì equazione y = - x + 5 e indicale con A e B(A punto di ascissa minima);
b) un punto P sull'arco di parabola AB in modo che il triangolo OPB abbia area 20.

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4° quesito:



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5° quesito:




Per il primo quesito ho cercato di trovare la k , ma non so se è giusta....potreste darmi degli input x iniziare a farli.

Vi ringrazio infinitamente

[Steven11]

Ciao, benvenuto.

Per i primi due devi lavorare guardando l'equazione generica delle varie coniche.
Ad esempio, la circonferenza ha la caratteristiche che i coefficienti dei termini quadratici sono uguali.
Quindi, per il primo,
$frac{x^2}{4k^2-1}+frac{y^2}{3-k}=1$ (nota che ho fatto comparire + al posto del -, e ho cambiato segno al secondo denominatore)
devi imporre
$4k^2-1=k-3$

Con la stessa logica, fai gli altri.

Gli ultimi tre hanno ben poco da essere spiegati: si tratta di mettere a sistema parabole e rette, e disequazioni da risolvere (minimo denominatore comune, senza eliminare il denominatore alla fine, e studio del segno).

Ciao.

[Dieguito901]

Ciao Steven, grazie per il tuo caloroso benvenuto e per le tue preziose dritte.

Dopo ore di lavoro :

- I primi due non mi sono usciti.....

- Nel terzo , ho messo le due equazioni a sistema e se ho fatto bene le 2 intersezioni dovrebbero essere A= ( 5/2 ; 11/6) e B= (-1/2 e 5/2). Però non so come continuare il secondo punto.

- Le due disequazioni:

La prima- dopo vari calcoli ho ottenuto:

$(-x^2 + 21 x^3 + 11 x^2 + 26 x + 8)/[( x+2)^2 (x-2) (x^2 + 2x + 4)]$<0$

Mi sono fermato qui, perchè non so come andare avanti....

La seconda- dopo diversi calcoli :

$(x^2 + 8 x - 13)/[(x-2) (x-3)]$<0$

Condrontando con i risultati del libro non mi escono i risultati del numeratore ovvero dell' equazione di secondo grado.........

Non ho ottenuto molto....spero possiate darmi nuovi lumi. Ancora grazie.

[G.D.5]

Potresti usare la sintassi di MathML. Le regole di compilazione le trovi quì.

[kekko989]

Devi aver fatto solo qualche errore di conto.parto dall'ultima. se è questa:
$(x-2)/(x-3)-(5x+1)/(x-2)-(3x^2-2x-14)/(-x^2+5x-6)<0$ Cambiando il segno al terzo denominatore ottieni:

$(x-2)/(x-3)-(5x+1)/(x-2)+(3x^2-2x-14)/(x^2-5x+6)<0$ Se lo scomponi con il trinomio notevole somma-prodotto ottieni $(x-2)(x-3)$. Quindi,facendo denominatore comune:

$(x^2-4x+4-(5x+1)(x-3)+3x^2-2x-14)/(x-3)(x-2)<0$ Svolgendo i conti:

$(-x^2+8x-7)/((x-2)(x-3))<0$. Ora ti conviene cambiare segno al numeratore e quindi anche il verso della disequazione. Poi discuti il segno al numeratore e al denominatore e metti tutto a sistema.

Edit: ho sbagliato a riportare,ho corretto,grazie.

[oronte83]

"kekko89":

$(-x^2-8x-7)/((x-2)(x-3))<0$. Ora ti conviene cambiare segno al numeratore e quindi anche il verso della disequazione. Poi discuti il segno al numeratore e al denominatore e metti tutto a sistema.

A me viene così:

$(-x^2+8x-7)/((x-2)(x-3))<0$

cioè al numeratore $+8x$ e non $-8x$.

[kekko989]

Per il quesito 3. La parabola ha equazione $y=-x^2+4x+5$ e la retta $y=-x+5$. Messe a sistema ottieni $x^2-5x=0$. Quindi le soluzioni dell'equazione sono $x=0;x=5$ Di conseguenza,sostituendo i due punti alla retta,ottieni i punti A e B. $A(5;0) B(0;5)$ E questo è il primo punto. Ora,ti conviene fare un disegno della parabola e della retta,per "vedere meglio" il triangolo. Devi prendere un punto P sulla parabola. Questo punto avrà coordinate $P(x;-x^2+4x+5)$. Ora,conosci il lato $OB=5$, ti trovi (in funzione di x) i lati $OP$ E $PB$ eppoi trovi l'area con la formula di Erone e la poni uguale a 20,ricavandoti la x. O se vuoi (e secondo me è il procedimento più veloce) basta moltiplicare la base del tuo triangolo ($OB$) per l'altezza (che è $-x^2+4x+5$) e porla uguale a venti.

[kekko989]

eccoti il disegno

[Dieguito901]

Grazie Kekko sei stato gentilissimo.

Per la disequazione da te menzionata. Partendo da dove sei arrivato te, non mi vien fuori il risultato del numeratore. Infatti io la risolvo e poi pongo, sia il numeratore che il denominatore maggiore di 0 per poi studiare dove è minore con i segni evitando di fare i due sistemi. L'unico problema è che mi esce un numero non estaibile dalla radice e la soluzione è : $x<=$ 1 V 2 < x < 3 V $x >=$7

Mentre per quanto riguarda , l'area del triangolo ho:

Moltiplicato OB x l'equazione (come da te suggeritomi) e l'ho posta = 20 facendo così mi vien fuori

x = 10 $+-sqrt(125)

Invece le soluzioni finali sono (1;8) V (3;8)

Per gli altri 3 quesiti sono in situazione di stallo, aspetto vostre dritte.

[kekko989]

$-x^2+8x-7<0$=$x^2-8x+7>0$.

Applico la ridotta. $x_(1;2)=4+-sqrt(16-7)$ = $4+-sqrt9$ = $4+-3$.
Quindi riscrivi la disequazione così se vai meglio: $[(x-7)(x-1)]/[(x-2)(x-3)]$. Ora hai quattro fattori da discutere il segno. Dovresti ottenere: $x>7;x<1;2

Cita

Segnala

[kekko989]

Per il triangolo: $OB=5$ e l'ascissa del tuo punto è $-x^2+4x+5$. Quindi $[(5(-x^2+4x+5)/2]=20$ da cui $-x^2+4x+5-8=0$. Risolvi la disequazione $x^2-4x+3=0$
$X_(1;2)=2+-sqrt(4-3)$ da cui ottieni $x=3$V$x=1$. Sostituisci questi tuoi valori alla parabola e ottieni i due punti che hai detto tu.

[Dieguito901]

Grazie Kekko sei stato gentilissimo adesso va sicuramente meglio. Aspetterò ulteriori dritte per gli altri esercizi. Purtroppo i primi 2 sto provando in vari modi ma non mi escono e nell'altra disequazione ci sarà qualche errore di calcolo ancora grazie.

[kekko989]

Non ho molto tempo purtroppo. La disequazione è la seguente.
$x/(x^2+2x+4)-(4x^2+3x+1)/((x-2)(x^2+2x+4))+(3x+1)/((x+2)(x-2))$. Minimo comune multiplo:

$[x^3-4x-4x^3-8x^2-3x^2-6x-x-2+3x^3+6x^2+12x+x^2+2x+4)/[(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)]$.

Svolgendo i calcoli ottieni: $(4x^2-3x-2)/[(x+2)(x-2)]>0$.
Risolvendo la disequazione di secondo grado hai $3/8+-sqrt41/8$. Poi devi mettere tutto a sistema. La radice di 41 non mi convince molto. Prova a ricontrollare i calcoli o se il testo è giusto.