Problemi fascio di rette

[valenta93]

Ciao a tutti. Come ultimo argomento abbiamo fatto il fascio di rette ma ho alcuni problemi a svolgere gli esercizi

1
Dopo aver calcolato le coordinate del centro del fascio di rette di equazione
(1-k)x+(1+k)y-2(k+2)=0, determinare per quali valori di k la retta del fascio

a) è parallela alla retta x-2y+4=0
b) passa per il punto comune alle rette x-y+1=0 e 2x-y-1=0

[(1;3); 3;1]

Allora io calcolato le generatrici

r: x+y-4=0
s -x+y-2=0

ho trovato il centro (3;4)

io per trovare la parallela ho trovato il coefficiente angolare m= 1/2


(1+k)y= -(1-k)x+2(k+2)=0

-2+2k=1+k
k=3

il punto B non so proprio come trovarlo.

ho un altro esercizio in cui ho problemi..pero' prima vedo se riesco a risolvere questo con una vostra male
grazie mille


-------
cocco93
allora, se passa per il punto comune delle deue rette vuol dire che devi trovare le coordinate del punto di tangenza, che si trovano facilmente mettendo a sistema le equazioni:
x=2
y=3

non vorrei sbagliare, ma sostituendo x ed y nell' equazione del fascio ti dovrebbe tornare k=7.

--------
valenta93
la parallela è giusta come la ho trovata?

comunque anche a me viene x=2 e y=3
e poi k=1


ma non capisco i risultati del libro

[(1;3); 3;1]



PS_mi scuso con BIT5. da quando c'è la nuova grafica non avevo notato che oltre a crea una discussione c'è anche crea una domanda. scusami tanto

[BIT5]

Figurati Vale!
Succede :D

Allora per il punto B del primo esercizio, dovrai:

Trovare il punto di intersezione tra le due rette:

[math] \{x-y+1=0 \\ 2x-y-1=0 [/math]

E quindi

[math] x=2, y=3 [/math]

La retta del fascio dunque dovra' passare per il punto.

Quindi sostituisci al fascio le coordinate del punto

[math] (1-k)2+(1+k)3-2(k+2)=0 \to 2-2k+3+3k-2k-4=0 \\ \to -k+1=0 \to k=1 [/math]

La retta sara'

[math](1-1)x+(1+1)y-2(1+2)=0 \to 2y-6=0 \to y= 3 [/math]

che e' parallela all'asse x

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Per quanto riguarda la prima parte:

[math] (1-k)x+(1+k)y-2(k+2)=0 [/math]

Direttrici: moltiplico

[math] x-kx+y+ky-2k-4=0 [/math]

Raccolgo k

[math] x+y-4+k(-x+y-2) [/math]

Le generatrici sono

[math] g_1: x+y-4=0 [/math]

e

[math] g_2: -x+y-2=0 [/math]

A sistema ci danno il centro del fascio

[math] \{x+y-4=0 \\ -x+y-2=0 [/math]

Aggiungo alla prima equazione, la seconda (metodo di riduzione)

[math] 2y-6=0 \to y=3 [/math]

e quindi (sostituendo a una delle due)

[math] x+3-4=0 \to x=1 [/math]

Che e' la prima soluzione del libro (1,3)

La parallela:

Il fascio e'

[math] (1-k)x+(1+k)y-2(k+2)=0 [/math]

Riscrivilo in forma esplicita

[math] y= \frac{-(1-k)}{1+k}x+ \frac{2(k+2)}{1+k} [/math]

La pendenza (il coefficiente di x) dovra' essere 1/2.

Quindi

[math] \frac{-1+k}{1+k}= \frac12 \to 2(-1+k)=1+k [/math]

con

[math] k \ne 1 [/math]

Quindi

[math] -2+2k=1+k \to k=3 [/math]

(accettabile perche' diversa da 1)

E quindi (questo e' il secondo risultato del libro) la retta sara' (sostituiamo il valore di k trovato)

[math](1-3)x+(1+3)y-2(3+2)=0 \to -2x+4y-10=0 \to -x+2y-5=0 [/math]

Spero di esserti stato d'aiuto

[valenta93]

grazie mille.

calcolando il centro del fascio avevo fatto un errore di calcolo..ok ho capito
dopo di che tramite coefficiente angolare abbiamo trovato la parallela alla retta data.

per il punto b ho trovato il punto di intersezione delle due rette, sostituendo ho trovato il valore di k, e infine ho sostituito k nell'equazione della retta

ok... chiari anche i risultati del libro... avevo pensato che anche gli ultimi risultati "3;1" fossero le coordinate di un punto. lasciamo stare..XD

ora provo a fare l'esercizio successivo... se ho problemi scrivo qui se lo lasci aperto. se no aprirò una nuova DOMANDA.. hihi

grazie ancora.
buona giornata

[BIT5]

Io non lo chiudo..
Sta a te (eventualmente) votare la risposta migliore :D