Problemi eq. del piano e della retta!

[orny___91]

Ragazzi questi 2 problemi sono facilissimi per chi sa farli... Per favore potete dirmi come li risolverli affinchè possa accertarmi se il modo in cui li ho fatti è giusto o meno?!? GRAZIEE

1) Scrivere l'equazione del piano passante per il punto P(-1, 0, 4) e parallelo al piano di eq. 3x+y-3z=0


2) Dati i punti A=(1,-2,3) e B=(-2,1,4) determinare l'eq. della retta AB.
Dopo aver verificato che AB non passa per l'origine, determinare l'eq. del piano perpendicolare alla retta AB e passante per l'origine.

[ciampax]

Due piani sono paralleli quando i coefficienti di x,y,z nell'equazione sono proporzionali e quello che cambia è il temine noto: pertanto basta scrivere

[math]3x+y-3z+d=0[/math]

e sostituire le coordinate del punto per ottenere

[math]-3+0-12+d=0\ \Rightarrow\ d=15[/math]

La retta AB ha la direzione del vettore

[math]AB=A-B=(3,-3,-1)[/math]

per cui l'equazione parametrica risulta

[math]\left\{\begin{array}{l}
x=1+3t\\
y=-2-3t\\
z=3-t
\end{array}\right.[/math]

Se la retta passasse per l'origine, dovrebbe esistere t tale che

[math]1+3t=0,\ 2-3t=0,\ 3-t=0[/math]

che non ha soluzione.

Per determinare il piano richiesto, basta considerare il vettore direzione

[math]AB[/math]

e ricordare che esso deve essere perpendicolare ad un qualsiasi vettore sul piano: dal momento che l'origine deve appartenere al piano, un generico vettore di esso ha la forma

[math]V=(x-0,y-0,z-0)=(x,y,z)[/math]

e quindi

[math]AB\times V=0[/math]

(prodotto scalare)

per cui

[math]3x-3y-z=0[/math]