Problemi e sistemi parametrici...

[Princeps1]

È data una semicirconferenza di diametro $bar(AB)=2r$ e centro O ed M è il punto medio del raggio OB. Per un punto P del raggio OB condurre la perpendicolare al diametro AB che interseca la semicirconferenza in C; determinare la misura del segmento AP in modo che sia k il rapporto tra il quadrato di $bar(PC)$ e il quadrato di $bar(MC)$.

Vi delizio con un mirabile disegno :
.

Il procedimento c'ho seguito è il seguente.

$AC=2rsenbeta=2rcosalpha$ (teorema della corda)

$MC=AM^2+AC^2-2AM*AC*cosalpha=9/4r^2+4r^2cos^2alpha-2*3/2r*2r*cosalpha*cosalpha=9/4r^2+4r^2cos^2alpha-6r^2cos^alpha=9/4r^2-2r^2cos^2alpha=r^2(9/4-2cos^2alpha)=MC$ (teorema del coseno).

$PC=AC*senalpha=2rcosalphasenalpha$

Data la condizione:
$(PC^2)/(MC^2)=k$
$(4r^2sen^2alphacos^2alpha)/(r^2(9/4-2cos^2alpha)=k$
$(16cos^2alpha-16cos^4alpha)/(9-8cos^2alpha)=k$
$16cos^alpha-16cos^4alpha=k(9-8cos^2alpha)=k$

Fin qui m'auguro sia tutto corretto...

A questo punto pongo $cos^2alpha=x$, sapendo che $0\lex\le1$.

$16x-16x^2=k(9-8x)$

Infine pongo $y=16x-16x^2$ e faccio il sistema.

${(y=-8kx+9k),(y=16x-16x^2),(0\lex\le1):}

Qui mi sorgono dei dubbi.
Il fascio di curve $y=-8kx+9k$ è un fascio proprio di rette con centro $C(9/8;0)$?! Presumo di no, visto che trasformando l'equazione del fascio in $y=-8k(x-9/8)$ mi troverei con un coefficiente dinnanzi al parametro k, che in questo caso funge da coefficiente angolare.
Cosa dovrei fare?!

[laura.todisco]

Innanzitutto la traccia ti chiede di determinare il segmento AP, questo ti fa capire che la x la devi porre là. Poi ti dice che P deve stare sul raggio OB, quindi dovrai porre la condizione che:
$r<=x<=2r$

Poi usi il 2° teorema di Euclide per trovare $PC^2$ e Pitagora per $MC^2$.

Dopo aver ricavato l'equazione parametrica, la dovrai discutere col metodo che hai usato a scuola, o metodo grafico o metodo di Tartinville utilizzando la limitazione che ti ho scritto sopra.

[Princeps1]

"laura.todisco":Innanzitutto la traccia ti chiede di determinare il segmento AP, questo ti fa capire che la x la devi porre là. Poi ti dice che P deve stare sul raggio OB, quindi dovrai porre la condizione che:
$r<=x<=2r$

Poi usi il 2° teorema di Euclide per trovare $PC^2$ e Pitagora per $MC^2$.

Dopo aver ricavato l'equazione parametrica, la dovrai discutere col metodo che hai usato a scuola, o metodo grafico o metodo di Tartinville utilizzando la limitazione che ti ho scritto sopra.

Innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto.

Ho risolto il problema col metodo da te consigliatomi:


$AP=x$
$PC^2=AP*PB=x(2r-x)=2rx-x^2$
$MP=3/2r+2r-x=7/2r-x$
$MC^2=(7/2r-x)^2+2rx=49/4r^2+x^2-7rx+2rx-x^2=49/4r^2-5rx$

Dalla condizione $(PC^2)/(MC^2)=k
sono giunto ad ottenere l'equazione:
$(8rx-4x^2)/(49r^2-20rx)=k$
$8rx-4x^2=k(49r^2-20rx)$

Ho lo stesso problema di prima per quanto riguarda il fascio... ^^".

[Sk_Anonymous]

$bar(AP)=x,bar(OP)=bar(AP)-bar(AO)=x-r,bar(MP)=|bar(OP)-bar(OM)|=|x-r-r/2|=|x-3/2r|$
Il valore assoluto e' necessario perche M potrebbe essere piu' vicino
a B di quanto non lo sia P.Il risultato tuttavia non ne e' influenzato
visto che poi si deve considerare il quadrato di $bar(MP)$
Devi correggere l'equazione finale.
In ordine alla discussione grafica in questi casi un po' rognosi
conviene porre $x^2=y$ ed intersecare questa parabola fissa
con il fascio di rette che ne risulta.
karl