Problemi di trigonometria (triangoli rettangoli)
Vorrei risolto questi due problemi di trigonometria... se non potete farli tutti e due vi prego di roslvermi almeno il secondo ;)
eccoli:
1) Nel triangolo rettangolo ABC le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa BC sono BH=25cm e CH=49cm. Determina i cateti e gli angoli acuti.
Risultati:
2) Da un punto P esterno a una circonferenza di centro C si mandano le tangenti PA e PB. Sapendo che cosAPB (l'angolo)=
Risultati:
Inoltre vorrei spiegato che cosa significa mettere prima della tangente o del seno o del coseno quell'arc...
Grazie a tutti in anticipo ;)
eccoli:
1) Nel triangolo rettangolo ABC le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa BC sono BH=25cm e CH=49cm. Determina i cateti e gli angoli acuti.
Risultati:
[math]AB=5\sqrt{74}cm; AC=7\sqrt{74}cm; B(angolo)= arctg\frac{7}{5}; C(angolo)= arctg\frac{5}{7}[/math]
2) Da un punto P esterno a una circonferenza di centro C si mandano le tangenti PA e PB. Sapendo che cosAPB (l'angolo)=
[math]-\frac{17}{25}[/math]
e che PC=15cm, determina i valori delle funzioni goniometriche degli angoli CPA e PCA e il raggio della circonferenza.Risultati:
[math]senCPA=\frac{\sqrt{21}}{5}; senPCA=\frac{2}{5}; r=3\sqrt{21}cm[/math]
Inoltre vorrei spiegato che cosa significa mettere prima della tangente o del seno o del coseno quell'arc...
Grazie a tutti in anticipo ;)
Risposte
La soluzione no, se vuoi ti dico come impostarli, per capirli..
Arcoseno, arccoseno, arctangente sono le funzioni inverse
Ad esempio
Quindi, in sintesi, la funzione arcseno restituisce, dato il valore del seno, l'angolo corrispondente (nell'intervallo limitato -pigreco/2 +pigreco/2.
Nell'esercizio da te postato, dire che l'angolo ha arctg=7/5, significa che la tangente di quell'angolo e' 7/5
ESERCIZIO 1:
Conosci le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (e quindi l'ipotenusa che altro non e' che la somma delle proiezioni).
con il teorema di Euclide (il primo), ti ricavi i cateti.
(cateto al quadrato=proiezione del cateto x ipotenusa)
A quel punto sai che il seno dell'angolo opposto al cateto e', per definizione, il rapporto del cateto sull'ipotenusa.
Il coseno, invece, e' il rapporto dell'angolo adiacente sull'ipotenusa.
ricavi i dati di seno e coseno e, siccome presentano entrambi radice74, puoi calcolare le tangenti, come rapporto tra seno e coseno, in modo che si eliminino le radici.
Se invece vuoi fare "prima", dal momento che seno e coseno hanno, nel loro calcolo, lo stesso denominatore (l'ipotenusa) puoi direttamente calcolare la tangente come rapporto tra i cateti.
La tangente dell'angolo e', per definzione, il rapporto tra il cateto non adiacente e quello adiacente.
Ricavi una tangente non corrispondente ad angoli noti, e quindi esprimi l'angolo come arctangente.
Se fino a qui e' chiaro, fammi sapere che vediamo il secondo.
Arcoseno, arccoseno, arctangente sono le funzioni inverse
Ad esempio
[math] \sin \frac{\pi}{4} = \frac{ \sqrt2}{2} [/math]
[math] \arcsin \frac{ \sqrt2}{2} = \frac{ \pi}{4} [/math]
Quindi, in sintesi, la funzione arcseno restituisce, dato il valore del seno, l'angolo corrispondente (nell'intervallo limitato -pigreco/2 +pigreco/2.
Nell'esercizio da te postato, dire che l'angolo ha arctg=7/5, significa che la tangente di quell'angolo e' 7/5
ESERCIZIO 1:
Conosci le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (e quindi l'ipotenusa che altro non e' che la somma delle proiezioni).
con il teorema di Euclide (il primo), ti ricavi i cateti.
(cateto al quadrato=proiezione del cateto x ipotenusa)
A quel punto sai che il seno dell'angolo opposto al cateto e', per definizione, il rapporto del cateto sull'ipotenusa.
Il coseno, invece, e' il rapporto dell'angolo adiacente sull'ipotenusa.
ricavi i dati di seno e coseno e, siccome presentano entrambi radice74, puoi calcolare le tangenti, come rapporto tra seno e coseno, in modo che si eliminino le radici.
Se invece vuoi fare "prima", dal momento che seno e coseno hanno, nel loro calcolo, lo stesso denominatore (l'ipotenusa) puoi direttamente calcolare la tangente come rapporto tra i cateti.
La tangente dell'angolo e', per definzione, il rapporto tra il cateto non adiacente e quello adiacente.
Ricavi una tangente non corrispondente ad angoli noti, e quindi esprimi l'angolo come arctangente.
Se fino a qui e' chiaro, fammi sapere che vediamo il secondo.
ok... capito
thanks ;)
quello che mi preoccupa ora è però il secondo xD... vediamo com'è...
thanks ;)
quello che mi preoccupa ora è però il secondo xD... vediamo com'è...
No, il secondo non e' niente di che, dai!
Considera questo:
da un punto esterno ad una circonferenza partono sempre due tangenti. La distanza tra il punto esterno e i punti di tangenza e' la stessa.
Il segmento che unisce P al centro della circonferenza e' bisettrice dell'angolo APB
I triangoli APC e PBC sono equivalenti e simmetrici.
Inoltre, dal momento che AC e CB sono raggi della circonferenza passanti per il punto di tangenza, e il raggio relativo al punto di tangenza e' sempre perpendicolare alla tangente, i triangoli sono pure rettangoli!
Detto questo, lavoriamo sul triangolo APC ad esempio.
L'angolo APC e' meta' dell'angolo APB, di cui conosciamo il coseno.
Per le formule di bisezione, possiamo dunque ricavarci i valori di coseno e seno della sua meta'
Ricordando pero' che l'angolo sara' sicuramente minore di 90gradi (altrimenti il triangolo APC gia' retto in A non avrebbe senso) consideriamo solo il risultato positivo (tutti gli angoli da 0 a 90gradi hanno seno positivo).
e
Stesso ragionamento di prima.. il coseno sara' sicuramente quello con il segno piu'.
(curiosita': il fatto che invece APB abbia un coseno negativo, e' indicativo che l'angolo e' ottuso (il coseno negativo si ha solo per angoli maggiori di 90 e minori di 270)
Calcoli ora i valori di sen e cos dell'angolo APC.
A questo punto hai seno e coseno, l'ipotenusa PC e utilizzando le definizioni di seno e coseno, ricavi AP e AC (raggio della circonferenza).
Infine, ricordando che i triangoli rettangoli hanno il seno di un angolo = coseno dell'altro (visto che sen(x)= cos(90-x)) trovi anche i valori dell'angolo ACP (ovvero gli opposti di CPA!)
Considera questo:
da un punto esterno ad una circonferenza partono sempre due tangenti. La distanza tra il punto esterno e i punti di tangenza e' la stessa.
Il segmento che unisce P al centro della circonferenza e' bisettrice dell'angolo APB
I triangoli APC e PBC sono equivalenti e simmetrici.
Inoltre, dal momento che AC e CB sono raggi della circonferenza passanti per il punto di tangenza, e il raggio relativo al punto di tangenza e' sempre perpendicolare alla tangente, i triangoli sono pure rettangoli!
Detto questo, lavoriamo sul triangolo APC ad esempio.
L'angolo APC e' meta' dell'angolo APB, di cui conosciamo il coseno.
Per le formule di bisezione, possiamo dunque ricavarci i valori di coseno e seno della sua meta'
[math] \sin \frac{x}{2}= \pm \sqrt{ \frac{1- \cos x}{2}} [/math]
Ricordando pero' che l'angolo sara' sicuramente minore di 90gradi (altrimenti il triangolo APC gia' retto in A non avrebbe senso) consideriamo solo il risultato positivo (tutti gli angoli da 0 a 90gradi hanno seno positivo).
e
[math] \cos \frac{x}{2}= \pm \sqrt{ \frac{1+ \cos x}{2}} [/math]
Stesso ragionamento di prima.. il coseno sara' sicuramente quello con il segno piu'.
(curiosita': il fatto che invece APB abbia un coseno negativo, e' indicativo che l'angolo e' ottuso (il coseno negativo si ha solo per angoli maggiori di 90 e minori di 270)
Calcoli ora i valori di sen e cos dell'angolo APC.
A questo punto hai seno e coseno, l'ipotenusa PC e utilizzando le definizioni di seno e coseno, ricavi AP e AC (raggio della circonferenza).
Infine, ricordando che i triangoli rettangoli hanno il seno di un angolo = coseno dell'altro (visto che sen(x)= cos(90-x)) trovi anche i valori dell'angolo ACP (ovvero gli opposti di CPA!)
guarda se fossi fisicamente qui davanti a me ti bacerei (anche se non sono quel tipo di ragazzo xD)
infinamente grazie!!! ;)
PS: se riscontrerò problemi sull'esecuzione dei problemi (scusa il gioco di parole xD) posterò di nuovo qui...
quindi ancora non chiudere ;)
ciao e ancora grazie!!!
infinamente grazie!!! ;)
PS: se riscontrerò problemi sull'esecuzione dei problemi (scusa il gioco di parole xD) posterò di nuovo qui...
quindi ancora non chiudere ;)
ciao e ancora grazie!!!
perfetto.
il bacio lo prendo virtuale, va!
Allora lascio aperto.
Ciao!
(PS: "se fossi qui fisicamente...." suona meglio ;) )
il bacio lo prendo virtuale, va!
Allora lascio aperto.
Ciao!
(PS: "se fossi qui fisicamente...." suona meglio ;) )
ok... ho finto potete chiudere e grazie ancora!
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