Problemi di trigonometria con i limiti

[Lucrezio1]

Salve a tutti... sono fermo con questo problema:
E' dato un quadrante di cerchio $OAB$ di raggio $OA=r$. Considera su $AB$ due punti $C$ e $D$ tali che $AOD=2AOC$ e indica con $C'$ e $D'$ le proiezioni di $C$ e $D$ su $OA$. Calcola i limiti $lim_(D->A) (D'A)/(C'A)$ e $lim_(D->A) (D'C')/(C'A)$.

Allora, posto $x=AOC$, è $2x = AOD$ con $0<=x<= pi/4$.
$D'A= r - OD' = r(1-cos2x)$
$C'A = r - OC' = r(1-cosx)$

Adesso, se $D->A$ allora $x->0$, quindi $lim_(D->A) (D'A)/(C'A) = lim_(x->0) (r(1-cos2x))/(r(1-cosx))=lim_(x->0)(1-cos2x)/(1-cosx) = lim_(x->0) (x((1-cos2x)/x))/(x((1-cosx)/x)) = lim_(x->0) (2(1-cos2x)/(2x))/((1-cosx)/x)$, il che mi darebbe 2, ma il libro dice che è 4.. cos'ho sbagliato?:(

[Palliit]

Ciao. L'errore è qua:

$... = lim_(x->0) (x((1-cos2x)/x))/(x((1-cosx)/x)) = lim_(x->0) (2(1-cos2x)/(2x))/((1-cosx)/x)$...

Il limite a cui devi fare riferimento è : [tex]\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{1-\cos \alpha}{\mathbf{\alpha} ^{\mathbf{2}}}=\frac{1}{2}[/tex] .

[Lucrezio1]

Non riesco a vedere dove sia l'x al quadrato

[Palliit]

Infatti non c'è, devi metterlo tu se vuoi che ognuno dei rapporti che si creano tenda a $1/2$.

In pratica: [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos 2x}{1-\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(2x)^2\cdot \frac{1-\cos 2x}{(2x)^2}}{x^2\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x^2\cdot \frac{1}{2}}{x^2 \cdot \frac{1}{2}}=...[/tex].

[Lucrezio1]

Ma perchè il mio procedimento era sbagliato?

[@melia]

Perché $lim_(x->0) (1-cos x)/x^2 =1/2$ e invece $lim_(x->0) (1-cos x)/x =0$, in pratica se il denominatore è di primo grado il limite vale 0