Problemi di Trigonometria (33791)
1-Una semicirconferenza di diametro OA=2r si conduca una corda OB tale che l'angolo BOA sia uguale a 2x .Detto C il punto medio dell'arco BA ,si determini la funzione che esprime l'area del quadrilatero OBCA.
2-Su una circonferenza presi tre punti A,B,C tali che AB=BC si scriva l'equazione y=AB^2 +BC^2 +CA^2
3-Una circonferenza di raggio r dato l'angolo al centro AOB ,si costruisca una corda AB da parte opposta al centro O ,il triangolo isoscele ABC avente per base AB e altezza Ch=2kAB.Si scriva l'area del quadrilatero OACB in funzione della metà dell'angolo AOB.
4-In una circonferenza di raggio r si consideri òa corda AB che dista r/4 dal centro .Si prenda sul maggiore degli archi AB il punto C,si prolunghi Ac di un segmento Cd tale che CD=AC e si scriva l'area del triangolo CDB in funzione della posizione C.
2-Su una circonferenza presi tre punti A,B,C tali che AB=BC si scriva l'equazione y=AB^2 +BC^2 +CA^2
3-Una circonferenza di raggio r dato l'angolo al centro AOB ,si costruisca una corda AB da parte opposta al centro O ,il triangolo isoscele ABC avente per base AB e altezza Ch=2kAB.Si scriva l'area del quadrilatero OACB in funzione della metà dell'angolo AOB.
4-In una circonferenza di raggio r si consideri òa corda AB che dista r/4 dal centro .Si prenda sul maggiore degli archi AB il punto C,si prolunghi Ac di un segmento Cd tale che CD=AC e si scriva l'area del triangolo CDB in funzione della posizione C.
Risposte
L'area del quadrilatero ACBO e' dato dalla somma delle Aree del triangolo OAB e del triangolo ABC.
Consideriamo il triangolo ABO:
il triangolo e' retto in B perche' e' inscritto in una semicirconferenza.
Questo ha l'ipotenusa OA=2r (per ipotesi)
Il cateto OB e' dato da
mentre il cateto BA sara'
L'area del triangolo sara' pertanto
Applicando le formule di duplicazione, sapendo che
Otteniamo che l'area e'
Consideriamo ora il triangolo BCA: questo e' isoscele, dal momento che due archi di pari lunghezza sottendono due segmenti congruenti.
Di questo triangolo isoscele conosciamo la base AB.
Per conoscere i lati, dobbiamo per un attimo considerare il triangolo OCA. Anche questo e' rettangolo in C e, visto che il punto C e' equidistante dai punti B e A e' anche il punto di intersezione della bisettrica dell'angolo BOA.
Quindi il segmento CA misurera'
Abbiamo quindi un triangolo isoscele di base 2rsen2x e lato 2rsenx.
Sapendo che l'altezza di un triangolo isoscele e' anche asse della base ( e pertanto perpendicolare e divide la base in due segmenti congruenti) con pitagora troviamo l'altezza del triangolo isoscele ABC:
Sempre con le formule di duplicazione otteniamo
Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria
abbiamo
Ora ti calcoli l'area del triangolo ABC e la sommi all'area di OBA..
Consideriamo il triangolo ABO:
il triangolo e' retto in B perche' e' inscritto in una semicirconferenza.
Questo ha l'ipotenusa OA=2r (per ipotesi)
Il cateto OB e' dato da
[math]2r \sin 2x [/math]
mentre il cateto BA sara'
[math] 2r \cos 2x [/math]
L'area del triangolo sara' pertanto
[math] A_{OBA}= \frac{1}{2} 2r \sin 2x \cdot 2r \cos 2x = 2r^2 \sin 2x \cos 2x [/math]
Applicando le formule di duplicazione, sapendo che
[math] \sin 2x=2 \sin x \cos x [/math]
[math] \cos 2x= 2 \cos^2 x - 1[/math]
Otteniamo che l'area e'
[math] A_{OBA}= 2r^2 (2 \sin x \cos x)(2 \cos^2 x -1) [/math]
Consideriamo ora il triangolo BCA: questo e' isoscele, dal momento che due archi di pari lunghezza sottendono due segmenti congruenti.
Di questo triangolo isoscele conosciamo la base AB.
Per conoscere i lati, dobbiamo per un attimo considerare il triangolo OCA. Anche questo e' rettangolo in C e, visto che il punto C e' equidistante dai punti B e A e' anche il punto di intersezione della bisettrica dell'angolo BOA.
Quindi il segmento CA misurera'
[math]2r \sin x [/math]
Abbiamo quindi un triangolo isoscele di base 2rsen2x e lato 2rsenx.
Sapendo che l'altezza di un triangolo isoscele e' anche asse della base ( e pertanto perpendicolare e divide la base in due segmenti congruenti) con pitagora troviamo l'altezza del triangolo isoscele ABC:
[math] h= \sqrt{4r^2 \sin^2 x-r^2 \sin^2 2x}[/math]
Sempre con le formule di duplicazione otteniamo
[math] \sqrt{4r^2 \sin^2 x - r^2 (2 \sin x \cos x)^2}= \\ \sqrt{4r^2 \sin^2 x - r^2 (4 \sin^2 x \cos^2 x} \\ \sqrt{4r^2 \sin^2x(1- \cos^2 x) [/math]
Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria
[math] 1 - \cos^2 x = \sin^2 x [/math]
abbiamo
[math] h= \sqrt{4r^2 \sin^4 x}=2r \sin^2x [/math]
Ora ti calcoli l'area del triangolo ABC e la sommi all'area di OBA..
scusa una domanda ma i due triangolo non possono essere uguali per il primo criterio di similitudine vero?
Scusa, ma i due triangoli quali?
Quelli che si formano ....lo so che è strano ma pensavo che OBC e COA fossero uguali...
No, non sono uguali perche' per quanto abbiano un angolo congruente e condividano un lato, comunque non hai un altro angolo o un altro lato da mettere a paragone (e infatti un triangolo e' rettangolo e l'altro no, quindi non sono triangoli ne' simili tantomeno uguali)
Grazie mille !:)
posso chiudere?
in teoria mi servirebbe aiuto anche negli altri tre problemi :(
Secondo problema:
considera che: il triangolo ABC e' isoscele, e pertanto la bisettrice dell'angolo ABC e' anche altezza, inoltre e' punto medio della corda AC.
Sappiamo che per il punto medio di una corda passa sempre un diametro.
Chiama BD il diametro a cui l'altezza/bisettrice del triangolo appartiene.
Disegna infine il triangolo ABD: tale triangolo e' rettangolo in HAB, essendo inscritto in una semicirconferenza.
Posto x l'angolo ABD (che e' congruente con l'angolo DBC), considerando il triangolo rettangolo DAB sai che:
e che
Considera ora il triangolo ABH, dove H e' il piede dell'altezza del triangolo isoscele.
Sai che
Pertanto la relazione posta dal problema sara':
considera che: il triangolo ABC e' isoscele, e pertanto la bisettrice dell'angolo ABC e' anche altezza, inoltre e' punto medio della corda AC.
Sappiamo che per il punto medio di una corda passa sempre un diametro.
Chiama BD il diametro a cui l'altezza/bisettrice del triangolo appartiene.
Disegna infine il triangolo ABD: tale triangolo e' rettangolo in HAB, essendo inscritto in una semicirconferenza.
Posto x l'angolo ABD (che e' congruente con l'angolo DBC), considerando il triangolo rettangolo DAB sai che:
[math] \bar{AB}=2r \cos x [/math]
e che
[math] \bar{AD}=2r \sin x [/math]
Considera ora il triangolo ABH, dove H e' il piede dell'altezza del triangolo isoscele.
Sai che
[math] \bar{AH}= \bar{AB} \sin x= 2r \cos x \sin x [/math]
Pertanto la relazione posta dal problema sara':
[math] y= 4r^2 \cos^2 x+ 4r^2 \cos^2 x+ 4r^2 \cos^2 x \sin^2 x= 4r^2 \cos^2 x(2+ \sin^2 x) [/math]
Ok .:)
Sulla base di quanto sopra sei riuscita a fare gli altri due?
Ti ringrazio per l'aiuto ma penso che lo chiederò al mio prof di mate.
Grazie davvero per l'aiuto. :)
Grazie davvero per l'aiuto. :)
benissimo. chiudo!
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