Problemi di riepilogo - Trigonometria con EQUAZIONI
Nel triangolo ABC rettangolo in A, i lati BC e AB misurano rispettivamente 2a e a. Esternamente al triangolo cotruisci un triangolo isoscele di base AC in modo che sia CD^2 + BD^2 = (4 + radice^3)a^2.
E ancora.
Dato un triangolo equilatero ABC inscritto in una circonferenza di raggio r verifica che qualunque sia il punto P appartenente alla circonferenza, la somma dei quadrati delle distante di P dai vertici del triangolo é uguale a 6r^2- Successivamente stabilisci quali sono le posizioni del punto P per le quali il perimetro del quadrilatero di vertici A B C P é uguale a 2r(radice^3 + 1).
Aiuto non so come fare. ._.
Nel primo sono riuscito a "risolvere" il primo triangolo:
AB = a
BC = 2a
AC = radice^3a
Angoli:
ABC = 60°
BCA = 30°
BAC = 90°
Ho tutto. Seni, coseni, altezze, angoli, lati. Ma dell'altro non so niente, se non che é isoscele. Come si fa?
Se qualche anima pia mi spiegasse anche come funzionano questi problemi con le equazioni, che, finché son da trovare misure, mi stanno bene, ma queste equazioni non le ho proprio capite. Finché problemi e algebra son due cose separate ok ma ora come funziona? Aiuto. ç__ç
E ancora.
Dato un triangolo equilatero ABC inscritto in una circonferenza di raggio r verifica che qualunque sia il punto P appartenente alla circonferenza, la somma dei quadrati delle distante di P dai vertici del triangolo é uguale a 6r^2- Successivamente stabilisci quali sono le posizioni del punto P per le quali il perimetro del quadrilatero di vertici A B C P é uguale a 2r(radice^3 + 1).
Aiuto non so come fare. ._.
Nel primo sono riuscito a "risolvere" il primo triangolo:
AB = a
BC = 2a
AC = radice^3a
Angoli:
ABC = 60°
BCA = 30°
BAC = 90°
Ho tutto. Seni, coseni, altezze, angoli, lati. Ma dell'altro non so niente, se non che é isoscele. Come si fa?
Se qualche anima pia mi spiegasse anche come funzionano questi problemi con le equazioni, che, finché son da trovare misure, mi stanno bene, ma queste equazioni non le ho proprio capite. Finché problemi e algebra son due cose separate ok ma ora come funziona? Aiuto. ç__ç
Risposte
La relazione del primo e':
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Cioe' mi interessa essere sicuro: che la parte numerica sia giusta, e che ti venga richiesto di trovare il segmento BD ovvero il segmento che congiunge gli angoli opposti a AC dei due triangoli.
[math] \bar{CD}^2+ \bar{BD}^2= (4+ \sqrt3)a^2 [/math]
???Aggiunto 9 minuti più tardi:
Cioe' mi interessa essere sicuro: che la parte numerica sia giusta, e che ti venga richiesto di trovare il segmento BD ovvero il segmento che congiunge gli angoli opposti a AC dei due triangoli.
La relazione é quella. Ho controllato. Il problema con questi tipi di problemi é che non so cosa porre e non so come porre COSA porre. Li abbiamo appena iniziati. Non é che non so niente, solo che il passaggio tra problemi e equazioni é stato distruttivo...
Per quanto ho capito, il "trucco" sta nello "riscrivere" la condizione fornitaci sostituendo ad esempio i lati con moltiplicazioni o somme e quindi ricavarsi una equazione vera e propria. E da qui trovare i risultati. Ma la posso trovare in seno, in coseno, in tangente... come funziona quindi?
Per quanto ho capito, il "trucco" sta nello "riscrivere" la condizione fornitaci sostituendo ad esempio i lati con moltiplicazioni o somme e quindi ricavarsi una equazione vera e propria. E da qui trovare i risultati. Ma la posso trovare in seno, in coseno, in tangente... come funziona quindi?
Avete fatto il Teorema di Carnot?
Sì sì anche quello dei seni. Puoi "usarli". xD
Aggiunto 49 minuti più tardi:
Ce la fai per stasera? :'(
Aggiunto 49 minuti più tardi:
Ce la fai per stasera? :'(
allora
Allora?
io porrei x l'angolo CAD e l'angolo DCA
sai che l'angolo in C del triangolo ABC e' 30 e quello in B dello stesso triangolo e' 60.
Sai dunque che
Considera il triangolo CHD, rettangolo in H.
CD sara'
Ora considera che il triangolo e' isoscele, e pertanto anche AD sara' lungo come CD.
Sappiamo che il lato BD del triangolo ABD e' ricavabile con il teorema di Carnot.
Abbiamo due lati (AB=a, AD=CD) e il coseno dell'angolo compreso (cos(90+x), che per gli angoli associati al primo quadrante e' =-senx)
Quindi
A questo punto direi, salvo errori di calcolo, che puoi sostituire nella relazione e risolvere l'equazione.
(Tieni presente che potevamo ricavare BD anche con il teorema di Carnot applicato al triangolo BDC, ma il coseno dell'angolo compreso ai due lati noti sarebbe stato cos(30+x) a cui avremmo dovuto applicare dunque la formula di addizione con evidente perdita di tempo in ulteriori calcoli)
sai che l'angolo in C del triangolo ABC e' 30 e quello in B dello stesso triangolo e' 60.
Sai dunque che
[math] AC= a \sqrt3 [/math]
e, dal momento che il triangolo ACD e' isoscele, l'altezza DH biseca la base AC in due segmenti congruenti lunghi [math] \frac{ \sqrt3}{2}a [/math]
Considera il triangolo CHD, rettangolo in H.
CD sara'
[math] \frac{CH}{\cos x} [/math]
e pertanto il suo quadrato sara' [math] \frac{ 3a^2}{4 \cos^2 x} [/math]
Ora considera che il triangolo e' isoscele, e pertanto anche AD sara' lungo come CD.
Sappiamo che il lato BD del triangolo ABD e' ricavabile con il teorema di Carnot.
Abbiamo due lati (AB=a, AD=CD) e il coseno dell'angolo compreso (cos(90+x), che per gli angoli associati al primo quadrante e' =-senx)
Quindi
[math] \bar{BD}^2=a^2+ \frac{3a^2}{4\cos^2 x} -2a \frac{ \sqrt3}{2 \cos x}a (- \sin x) [/math]
A questo punto direi, salvo errori di calcolo, che puoi sostituire nella relazione e risolvere l'equazione.
(Tieni presente che potevamo ricavare BD anche con il teorema di Carnot applicato al triangolo BDC, ma il coseno dell'angolo compreso ai due lati noti sarebbe stato cos(30+x) a cui avremmo dovuto applicare dunque la formula di addizione con evidente perdita di tempo in ulteriori calcoli)
Ero arrivato anche io all'altezza "mediana" ma non sapevo cosa farne.
Solo una domanda.
CD perché DH per cos x? Non dovrebbe essere SEN X? (seno angolo opposto, in C, che é x)
Aggiunto 1 minuti più tardi:
E ancora. In problemi come questi, come si fa a risolvere il problema? Cosa porre x? Come porre qualcosa? Alla fine, risolvere un problema con queste equazioni, che significa?
Solo una domanda.
CD perché DH per cos x? Non dovrebbe essere SEN X? (seno angolo opposto, in C, che é x)
Aggiunto 1 minuti più tardi:
E ancora. In problemi come questi, come si fa a risolvere il problema? Cosa porre x? Come porre qualcosa? Alla fine, risolvere un problema con queste equazioni, che significa?
Per quanto ho capito, il "trucco" sta nello "riscrivere" la condizione fornitaci sostituendo ad esempio i lati con moltiplicazioni o somme e quindi ricavarsi una equazione vera e propria. E da qui trovare i risultati. Ma la posso trovare in seno, in coseno, in tangente... come funziona quindi?
la tua osservazione e' corretta, ma mi sono accorto dell'errore e infatti e' CD=CH/cos x (ho corretto, tra l'altro DH neanche e' noto...)
Un trucco non c'e'.
Io ti consiglio di: studiare i casi limite.
E poi dare un occhio generale cercando di capire, nella relazione che ti viene data, quali angoli (in trigonometria la x e' sempre un angolo) ti servirebbe sapere per trovare i lati della relazione.
Nel mio caso, dal momento che: sapevo che il triangolo ACD e' isoscele e che dunque avevo CH=AH e che AC era facilmente calcolabile, ho posto x gli angoli uguali (cosi' avevo due angoli "noti" e anche CD che era nella relazione).
Per BD ci ho dovuto pensare un attimo..
Tu comunque poni x l'angolo che piu' ti sembra logico.
Poi se trovi un lato della relazione, ma l'altro proprio non riesci a ricavarlo.. provi a porre la x su un altro angolo utile a trovare l'altro lato e da li' riparti.
Un trucco non c'e'.
Io ti consiglio di: studiare i casi limite.
E poi dare un occhio generale cercando di capire, nella relazione che ti viene data, quali angoli (in trigonometria la x e' sempre un angolo) ti servirebbe sapere per trovare i lati della relazione.
Nel mio caso, dal momento che: sapevo che il triangolo ACD e' isoscele e che dunque avevo CH=AH e che AC era facilmente calcolabile, ho posto x gli angoli uguali (cosi' avevo due angoli "noti" e anche CD che era nella relazione).
Per BD ci ho dovuto pensare un attimo..
Tu comunque poni x l'angolo che piu' ti sembra logico.
Poi se trovi un lato della relazione, ma l'altro proprio non riesci a ricavarlo.. provi a porre la x su un altro angolo utile a trovare l'altro lato e da li' riparti.
Ok. Ora immagino sia solo una questione di abitudine. Manco finiamo un argomento che ne facciamo un altro... :(
Ora non so se sia il caso... ma hai anche una qualche idea di come si faccia ilterzo secondo? Ora non voglio che tu me lo risolva, ci mancherebbe, ma non so se ti é venuto qualche spunto, qualche idea su dove iniziare, che magari pensandoci su me lo imposto io?
Scusa e grazie intanto per la pazienza per il primo. :thx
Ora non so se sia il caso... ma hai anche una qualche idea di come si faccia il
Scusa e grazie intanto per la pazienza per il primo. :thx
ma io ne vedo solo due di problemi..
Aggiunto 11 secondi più tardi:
ma io ne vedo solo due di problemi..
Aggiunto 11 secondi più tardi:
ma io ne vedo solo due di problemi..
Ehrg scusa sì il secondo intendevo. Correggo subito. ^^"
Aggiunto 17 minuti più tardi:
Perché su CH/cos X esc 3a^2 (e mi trovo) / 4cos^2x? Che mi son perso?
Aggiunto 17 minuti più tardi:
Perché su CH/cos X esc 3a^2 (e mi trovo) / 4cos^2x? Che mi son perso?
Una volta fatto il disegno, segna un punto P ad esempio sull'arco BC.
Considereremo lo spostamento di P solo su quest'arco, dal momento che, essendo il triangolo equilatero, il comportamento di P sugli altri due archi sara' analogo.
Traccia i 3 raggi OA, OB e OC.
Traccia infine il raggio PO.
Poni x l'angolo BOP.
Sai che BP e' la base del triangolo isoscele BPO (due lati sono = r).
Per Carnot avrai:
Considera ora il triangolo PCO.
questo triangolo e' anch'esso isoscele (PO=CO=r)
L'angolo in O sara' (120-x) dal momento che in un triangolo equilatero, le tre altezze/mediane/assi/bisettrici si incontrano nel centro della circonferenza inscritta/circoscritta nell'ortocento e nel baricentro formando tre angoli uguali di 120.
Pertanto sempre per Carnot avremo:
Per le formule di duplicazione (sottrazione) abbiamo che
Dunque
Infine considera il triangolo APO.
L'angolo in O sara' la somma di AOC e POC ovvero 120+(120-x)=240-x
Quindi sempre per Carnot (anche questo triangolo e' isoscele perche' AO=PO=r)
Sempre con le formule di sottrazione otterrai
Sommando i tre quadrati trovati, vedrai che tutte le funzioni trigonometriche si semplificano e rimane solo la somma di
La dimostrazione, limitata all'arco BC, e' tranquillamente "allargabile" a tutto il resto della circonferenza, dal momento che il triangolo e' equilatero.
Aggiunto 6 minuti più tardi:
Per l'altro pezzo, conoscendo il raggio della circonferenza, sai che il lato del triangolo equilatero sara'
Quindi il perimetro del quadrilatero lo puoi calcolare..
Avrai che
Rimane un'equazione con due radici, dovrai elevare al quadrato.
Forse c'e' un modo meno complesso, ma mi devi scusare, e' tardi :D
Aggiunto 12 minuti più tardi:
Non ho molto capito la domanda, ma CD= CH/cos x
siccome CA=
E il suo quadrato
non so se ti ho risposto, pero'..
Considereremo lo spostamento di P solo su quest'arco, dal momento che, essendo il triangolo equilatero, il comportamento di P sugli altri due archi sara' analogo.
Traccia i 3 raggi OA, OB e OC.
Traccia infine il raggio PO.
Poni x l'angolo BOP.
Sai che BP e' la base del triangolo isoscele BPO (due lati sono = r).
Per Carnot avrai:
[math] BP^2=r^2+r^2-2r^2 \cos x = 2r^2-2r^2 \cos x [/math]
Considera ora il triangolo PCO.
questo triangolo e' anch'esso isoscele (PO=CO=r)
L'angolo in O sara' (120-x) dal momento che in un triangolo equilatero, le tre altezze/mediane/assi/bisettrici si incontrano nel centro della circonferenza inscritta/circoscritta nell'ortocento e nel baricentro formando tre angoli uguali di 120.
Pertanto sempre per Carnot avremo:
[math] PC^2=r^2+r^2-2r^2 \cos (120-x) [/math]
Per le formule di duplicazione (sottrazione) abbiamo che
[math] \cos (120-x)= \cos x \cos 120 - \sin x \sin 120 = - \frac12 \cos x + \frac{ \sqrt3}{2} \sin x [/math]
Dunque
[math] PC^2= 2r^2-2r^2( - \frac12 \cos x + \frac{ \sqrt3}{2} \sin x ) \\ = 2r^2 + r^2 \cos x - \sqrt3 \sin x[/math]
Infine considera il triangolo APO.
L'angolo in O sara' la somma di AOC e POC ovvero 120+(120-x)=240-x
Quindi sempre per Carnot (anche questo triangolo e' isoscele perche' AO=PO=r)
[math] AP^2=2r^2-2r^2 \cos (240-x) [/math]
Sempre con le formule di sottrazione otterrai
[math] AP^2=2r^2+r^2 \cos x + \sqrt3 \sin x [/math]
Sommando i tre quadrati trovati, vedrai che tutte le funzioni trigonometriche si semplificano e rimane solo la somma di
[math] 2r^2+2r^2+2r^2[/math]
.La dimostrazione, limitata all'arco BC, e' tranquillamente "allargabile" a tutto il resto della circonferenza, dal momento che il triangolo e' equilatero.
Aggiunto 6 minuti più tardi:
Per l'altro pezzo, conoscendo il raggio della circonferenza, sai che il lato del triangolo equilatero sara'
[math] r \sqrt3 [/math]
Quindi il perimetro del quadrilatero lo puoi calcolare..
Avrai che
[math] 2 \sqrt3+r \sqrt3 + PC + PA = 2 \sqrt3 + 2r [/math]
[math] 2 \sqrt3 [/math]
ad ambo i membri se ne vannoRimane un'equazione con due radici, dovrai elevare al quadrato.
Forse c'e' un modo meno complesso, ma mi devi scusare, e' tardi :D
Aggiunto 12 minuti più tardi:
# Ciardo :
Perché su CH/cos X esc 3a^2 (e mi trovo) / 4cos^2x? Che mi son perso?
Non ho molto capito la domanda, ma CD= CH/cos x
siccome CA=
[math] \sqrt3 a [/math]
e CH e' la sua meta', allora[math] CH= \frac{ \sqrt3}{2} a [/math]
[math] CD= \frac{ \frac{ \sqrt3}{2}a}{ \cos x} = \frac{ \sqrt3 a}{2 \cos x} [/math]
E il suo quadrato
[math] \frac{3a^2}{4 \cos^2 x} [/math]
non so se ti ho risposto, pero'..
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