Problemi di matematica su equazioni e disequazioni
Salve a tutti, qualcuno mi potrebbe spiegare come si svolgono questi due esercizi?
1) Considera l'equazione nell'incognita x: x^2 - 2(k + 1)x - (k + 3) =0. Verifica che essa ammette due soluzioni reali disitnte per ogni k appartenente a R. Determina, se esistono, i valori di k per cui:
a) le soluzioni sono entrambe positive; S =impossibile
b) la somma dei quadrati delle soluziomi è maggiore o uguale a 3; S =per ogni k appartenente a R
c) il valore assoluto della somma delle soluzioni è maggiore del valore assoluto del prodotto delle soluzioni; S =k < -5/3 oppure k >1
d) le due soluzioni sono non nulle e concordi e la radice quadrata del loro prodotto è minore di -k/4; S =k < -12 oppure -4 < k < -3
e) la differenza, in valore assoluto, delle due soluzioni è maggiore di 4 - k; S = k < -20/3 oppure k>0.
2) Supponi che la radice quadrata di k+3 e la radice quadrata di 3k-3, con k >1, siano le misure dei lati di un rettangolo. Determina, se esistono, i valori di k per cui:
a) il rettangolo diventa un quadrato; k =3 (soluzione)
b) l'area è minore della radice quadrata di 63; S = 1 < k < 4
c) il perimetro è maggiore di 8; S = k >19 -12√2
d) la misura del raggio di circonferenza circoscritts minore di 10; S =1 < k < 100
e) il raggio della circonferenza inscritta in uno dei due triangoli in cui il rettangolo retsa diviso da una diagonale ha misura uguale a un quaro della misura della diagonale stessa S =impossibile.
1) Considera l'equazione nell'incognita x: x^2 - 2(k + 1)x - (k + 3) =0. Verifica che essa ammette due soluzioni reali disitnte per ogni k appartenente a R. Determina, se esistono, i valori di k per cui:
a) le soluzioni sono entrambe positive; S =impossibile
b) la somma dei quadrati delle soluziomi è maggiore o uguale a 3; S =per ogni k appartenente a R
c) il valore assoluto della somma delle soluzioni è maggiore del valore assoluto del prodotto delle soluzioni; S =k < -5/3 oppure k >1
d) le due soluzioni sono non nulle e concordi e la radice quadrata del loro prodotto è minore di -k/4; S =k < -12 oppure -4 < k < -3
e) la differenza, in valore assoluto, delle due soluzioni è maggiore di 4 - k; S = k < -20/3 oppure k>0.
2) Supponi che la radice quadrata di k+3 e la radice quadrata di 3k-3, con k >1, siano le misure dei lati di un rettangolo. Determina, se esistono, i valori di k per cui:
a) il rettangolo diventa un quadrato; k =3 (soluzione)
b) l'area è minore della radice quadrata di 63; S = 1 < k < 4
c) il perimetro è maggiore di 8; S = k >19 -12√2
d) la misura del raggio di circonferenza circoscritts minore di 10; S =1 < k < 100
e) il raggio della circonferenza inscritta in uno dei due triangoli in cui il rettangolo retsa diviso da una diagonale ha misura uguale a un quaro della misura della diagonale stessa S =impossibile.
Risposte
Allora faccio il primo:
Primo punto: facciamo il delta quarti che è più comodo, quindi\(\displaystyle \frac{\Delta}{4}>0 \Rightarrow k^2+2k+1+4k+12>0 \) da cui \(\displaystyle k^2+6k+14>0 \) e poiché \(\displaystyle \Delta_k<0 \) ed \(\displaystyle a>0 \) il polinomio \(\displaystyle P(k) \) è sempre positivo \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{R} \);
a) \(\displaystyle \begin{cases} x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2k+2>0 \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=-k-3>0 \end{cases} \);
b) Per questo punto basta sfruttare il fatto che \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2=\left(\frac{-b}{a}\right)^2-2\cdot \frac{c}{a}=(2k+2)^2+2(k+3)\ge3 \);
c) \(\displaystyle |x_1+x_2|>|x_1\cdot x_2| \Rightarrow \left|\frac{-b}{a}\right|>\left|\frac{c}{a}\right| \Rightarrow |2k+2|>|-k-3| \), che è una semplice disequazione con i moduli;
d) Se una soluzione che chiamiamo \(\displaystyle x_1 \) fosse nulla allora sostituendola alla \(\displaystyle x \) dovremmo ottenere come risultato zero, due numeri sono concordi se il loro prodotto è positivo e perciò:
\(\displaystyle \begin{cases} -k-3 \not =0 \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=-k-3>0 \\ \sqrt{x_1\cdot x_2}=\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{-k-3}<-\frac{k}{4} \end{cases} \);
e) Dobbiamo trovarci adesso le due soluzioni esplicitamente con la formula (la ridotta è più comoda) e ricaviamo che:
\(\displaystyle x_{1,2}=k+1\pm \sqrt{ k^2+6k+14} \), quindi:
\(\displaystyle |k+1+\sqrt{ k^2+6k+14}-k-1+ \sqrt{ k^2+6k+14}|=|2\sqrt{ k^2+6k+14}|>4-k\), adesso poichè sapevamo da prima che \(\displaystyle k^2+6k+14>0 \) è verificata \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{R} \) è sufficiente risolvere \(\displaystyle 2\sqrt{ k^2+6k+14}>4-k \).
Per il secondo esercizio, qualche idea? Dove incontri difficoltà?
Primo punto: facciamo il delta quarti che è più comodo, quindi\(\displaystyle \frac{\Delta}{4}>0 \Rightarrow k^2+2k+1+4k+12>0 \) da cui \(\displaystyle k^2+6k+14>0 \) e poiché \(\displaystyle \Delta_k<0 \) ed \(\displaystyle a>0 \) il polinomio \(\displaystyle P(k) \) è sempre positivo \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{R} \);
a) \(\displaystyle \begin{cases} x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2k+2>0 \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=-k-3>0 \end{cases} \);
b) Per questo punto basta sfruttare il fatto che \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2=\left(\frac{-b}{a}\right)^2-2\cdot \frac{c}{a}=(2k+2)^2+2(k+3)\ge3 \);
c) \(\displaystyle |x_1+x_2|>|x_1\cdot x_2| \Rightarrow \left|\frac{-b}{a}\right|>\left|\frac{c}{a}\right| \Rightarrow |2k+2|>|-k-3| \), che è una semplice disequazione con i moduli;
d) Se una soluzione che chiamiamo \(\displaystyle x_1 \) fosse nulla allora sostituendola alla \(\displaystyle x \) dovremmo ottenere come risultato zero, due numeri sono concordi se il loro prodotto è positivo e perciò:
\(\displaystyle \begin{cases} -k-3 \not =0 \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=-k-3>0 \\ \sqrt{x_1\cdot x_2}=\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{-k-3}<-\frac{k}{4} \end{cases} \);
e) Dobbiamo trovarci adesso le due soluzioni esplicitamente con la formula (la ridotta è più comoda) e ricaviamo che:
\(\displaystyle x_{1,2}=k+1\pm \sqrt{ k^2+6k+14} \), quindi:
\(\displaystyle |k+1+\sqrt{ k^2+6k+14}-k-1+ \sqrt{ k^2+6k+14}|=|2\sqrt{ k^2+6k+14}|>4-k\), adesso poichè sapevamo da prima che \(\displaystyle k^2+6k+14>0 \) è verificata \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{R} \) è sufficiente risolvere \(\displaystyle 2\sqrt{ k^2+6k+14}>4-k \).
Per il secondo esercizio, qualche idea? Dove incontri difficoltà?
Per mauriking: ti invito a leggere il regolamento. Sei agli inizi, quindi forse non sai che avresti dovuto indicare un tuo tentativo di soluzione.
Per giannirecanati: tu avresti dovuto saperlo; passi dare qualche suggerimento, ma non scrivere la soluzione quasi per intero. Almeno per il secondo esercizio comportati così.
Per giannirecanati: tu avresti dovuto saperlo; passi dare qualche suggerimento, ma non scrivere la soluzione quasi per intero. Almeno per il secondo esercizio comportati così.
Sì, mi scuso con te Giammaria e con la community per non aver rispettato il regolamento, anche nell'altro thread.
Mi scuso terribilmente, non sapevo che si dovesse dare una propria soluzione.
Comunque, per il secondo problema sono riuscito a risolvere i primi tre punti, ma non gli ultimi due: qualcuno gentilmente mi potrebbe aiutare, perchè non so come impostarli?
Comunque, per il secondo problema sono riuscito a risolvere i primi tre punti, ma non gli ultimi due: qualcuno gentilmente mi potrebbe aiutare, perchè non so come impostarli?
Per il terzo punto ti basta calcolare la diagonale e notare che è il diametro della circonferenza circoscritta; i calcoli sono facili.
Per il quarto punto puoi ricordare che il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è uguale all'area fratto il semiperimetro. Salvo errori, ottengo l'equazione
$2 sqrt ((3k-3)(k+3))=sqrt (k(3k-3))+sqrt (k(k+3))+2k$
Spaventa, ma elevandola a quadrato e portando tutto allo stesso membro si ottiene la somma di un trinomio sempre positivo e tre radici eguagliata a zero: impossibile perché tutti gli addendi sono positivi.
Oppure puoi portare a primo membro il $2k$ finale e poi elevare a quadrato: si ottengono delle belle semplificazioni. Mi sembra probabile che ci siano metodi anche migliori, ma ora non me ne viene in mente nessuno.
Per il quarto punto puoi ricordare che il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è uguale all'area fratto il semiperimetro. Salvo errori, ottengo l'equazione
$2 sqrt ((3k-3)(k+3))=sqrt (k(3k-3))+sqrt (k(k+3))+2k$
Spaventa, ma elevandola a quadrato e portando tutto allo stesso membro si ottiene la somma di un trinomio sempre positivo e tre radici eguagliata a zero: impossibile perché tutti gli addendi sono positivi.
Oppure puoi portare a primo membro il $2k$ finale e poi elevare a quadrato: si ottengono delle belle semplificazioni. Mi sembra probabile che ci siano metodi anche migliori, ma ora non me ne viene in mente nessuno.
Ti ringrazio mille per la risposta esauriente che mi hai dato.
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