Problemi di massimo e minimo sulla geometria piana

[bonitese88]

1)Fra i triangoli isosceli di perimetro 2p, trovare quello di area massima
2)Fra i triangoli iscosceli circoscritti a una circonferenza di raggio r, trovare quello di area minima
3)Di tutti i triangoli la cui somma di due lati vale a e l'angolo da essi compreso (alfa), qual è quello di area massima?
4)Fra tutti i triangoli aventi la stessa base a e aventi costante l'angolo opposto (alfa),qual è quello di area massima?

[MaMo2]

1) Chiamando 2x la base del triangolo il lato diventa p - x, per cui si ha:

$h=sqrt((p-x)^2-x^2)=sqrt(p^2-2px)$

L'area è dunque:

$A=xh=xsqrt(p^2-2px)$

Derivando si trova il valore di x che rende massima la funzione. Il triangolo cercato è quello equilatero.

2) ...

Ho il sospetto che sia un compito in classe.

[bonitese88]

Non è un compito in classe!!.....sono degli esercizi che la prof ha assegnato x casa..e nn riesco proprio a capire cm s fanno!!!!

[Sk_Anonymous]

Propongo una soluzione geometrica del n° 4.
Si supponga $alpha$ non ottuso e si costruisca dapprima
il triangolo isoscele BOC (fig.1) tale che $BC=a ,BOC=2alpha$
e poi la circonferenza di centro O e raggio OB=OC.
Il terzo vertice A del triangolo deve appartenere all'arco maggiore AB.
E' allora evidente che ,essendo la base BC costante,l'area massima si raggiunge
quando e' massima l'altezza ad essa relativa e cioe' quando A coincide con A' punto
medio dell'arco BC.
Si conclude che il triangolo richiesto e' isoscele, con i lati dati da
$BA'=CA'=a/(2sin((alpha)/2)$ e l'area massima da
$S_(max)=1/2*BA'*CA'*sinalpha=1/2*(a^2)/(4sin^2((alpha)/2))*sinalpha=1/2*(a^2)/(4sin^2((alpha)/2))*2sin((alpha)/2)cos((alpha)/2)=(a^2)/4cotan((alpha)/2)$
Se $alpha$ e' ottuso si veda la fig.2 : con piccole variazioni si giunge
alla medesima conclusione.
karl

[MaMo2]

2) Stessa incognita. Determina l'altezza del triangolo in funzione di r e x e trovi:

$h=(2rx^2)/(x^2-r^2)$

L'area diventa:

$A=xh= (2rx^3)/(x^2-r^2)$

Fai la derivata e trovi i valori di x che la annullano ... troverai sempre che il triangolo cercato è quello equilatero.

3) Chiami x un lato. L'altro è s - x per cui l'area diventa:

$A=1/2x(s-x)senalpha$

Derivi rispetto ad x ...

4) Chiama x uno degli angoli adiacenti al lato a. Usando il teorema dei seni puoi trovare tutto quello che serve ...

[Sk_Anonymous]

Per chi e' interessato.
A volte ,nei problemi di estremo,non serve derivare.
Per esempio,se x ed y sono due variabili positive a somma costante
x+y=s,studiando l'espressione:
$xy=[(x+y)^2-(x-y)^2]/4=(s^2-(x-y)^2)/4$
si riconosce facilmente che il massimo di xy lo si ottiene per $x=y=s/2$.
Applicando tale semplicissimo criterio al 3° esercizio in cui e'
$A=1/2x(s-x)senalpha$,essendo x+(s-x)=s=costante ,segue immediatamente
che il massimo richiesto lo si ha per $x=s-x=s/2$ ovvero quando il triangolo
in questione e' isoscele.
Piu' in generale si puo' dimostrare che se x ed y sono variabili positive
a somma costante s ,allora l'espressione $x^my^n$ ( con m ed n razionali)
diventa massima allorche' risulta $x/m=y/n$ . E questa relazione ,insieme
con x+y=s,permette di trovare le incognite .
Per esempio,nel primo esercizio si puo' scrivere:
$A=xh=sqrt(2p)*(x)^1*(p/2-x)^(1/2)$
Ora e' $x+(p/2-x)=p/2$= costante e dunque il massimo si ha quando risulta:
$x/1=(p//2-x)/(1//2)$ da cui x=p/3.
Pertanto :
base=2x=2p/3,lati =p-x=p-p/3=2p/3.
Il triangolo richiesto e' quello equilatero.
karl